Conexões matemáticas envolvendo o factorial do número

Em Matemática existem alguns tipos de números que, quando colocados em sequência, crescem de uma forma muito rápida, pois o seu padrão de crescimento aponta nesse sentido. Veja-se, por exemplo, a sequência dos números cúbicos: 1, 8, 27, 64, 125, ... ou a sequência das potências de base dois: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Contudo, outras há cujo padrão de crescimento é mais lento, como seja o caso dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ou dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

O conjunto de números que apresento a seguir também evidencia crescer muito rapidamente, pois a lei geral que os gera leva a que isso aconteça: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... Qual o próximo termo da sequência?

Talvez influenciados pelo título deste artigo, facilmente poderemos verificar que:

1 = 1

2 = 2 x 1

6 = 3 x 2 x 1

24 = 4 x 3 x 2 x 1

120 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5040 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Continuando este padrão de crescimento, o próximo termo resultará do seguinte produto 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, isto é, será o número 40320.

Sendo assim, facilmente se percebe que estamos perante uma sequência numérica muito especial, que é a que resulta dos factoriais dos números naturais (n!). De facto, 1 = 1!, 2 = 2!, 6 = 3!, 24 = 4!, 120 = 5!, 720 = 6!, 5040 = 7! e, logicamente, 40320 = 8!

Tendo em conta esta regularidade, qual o factorial do número 10?

Esta questão é facilmente resolvida pelos seguintes cálculos: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800.

Este tipo de números revela ser muito importante em vários temas matemáticos, como seja o caso das permutações, das combinações ou dos arranjos.

Imaginemos que quatro atletas de salto em altura estão a disputar a final de uma prova muito importante. Sabendo-se que os seus nomes são Artur, Bento, Carlos e Daniel, como pode ser pensada a recepção das medalhas dos três elementos pertencentes ao pódio, isto é, 1º, 2º e 3º lugares? No fundo, pergunta-se como poderá ser formado o pódio?

Note-se que um destes quatro atletas não terá acesso ao pódio, pelo que poderemos tentar prever quantas são as combinações possíveis de três dos quatro atletas poderem ser os premiados.

Sendo assim, há quatro combinações. Uma delas deixará o Artur de fora do pódio, outra deixará o Bento, uma terceira possibilidade é a que deixa o Carlos excluído e a quarta combinação envolve apenas os atletas Artur, Bento e Carlos, ficando, pois, o Daniel de fora do pódio. Vejamos as quatro combinações possíveis:

a - Bento, Carlos e Daniel,

b - Artur, Carlos e Daniel,

c - Artur, Bento e Daniel,

d - Artur, Bento e Carlos.

Estas 4 combinações de três atletas resultam da aplicação do respectivo algoritmo aos quatro atletas:

⁴C₃ = 4! / (4 - 3)! x 3! = 4 x 3 x 2 x 1 / 1 x 3 x 2 x 1 = 24 / 6 = 4.

Realmente, o tema das combinações está associado ao factorial do número. Contudo somente a sua associação ao tema das permutações nos permite encontrar a resposta para o desafio colocado.

De facto, note que para o caso em que é o Artur a ficar excluído do pódio há seis possibilidades de o mesmo ser formado:

A	B	C	D	E	F
1º Bento 2º Carlos 3º Daniel	1º Bento 2º Daniel 3º Carlos	1º Carlos 2º Daniel 3º Bento	1º Carlos 2º Bento 3º Daniel	1º Daniel 2º Bento 3º Carlos	1º Daniel 2º Carlos 3º Bento

Note-se, pois, que este valor 6 resulta de se permutarem de posição estes 3 atletas. Logo, trata-se de mais um caso de aplicação do factorial do número, pois 6 = 3!

Se isto é verdade para o caso de ter sido o Artur (A) a ficar excluído do pódio, também o é para o caso de ter sido o Bento (B), ou o Carlos (C) ou o Daniel (D).

Logo, a tabela seguinte evidencia as 24 possibilidades de constituição do pódio, pois 4 x 3! = 4 x 6 = 24:

B - C - D	B - D - C	C - D - B	C - B - D	D - B - C	D - C - B
A - C - D	A - D - C	C - D - A	C - A - D	D - A - C	D - C - A
A - B - D	A - D - B	B - D - A	B - A - D	D - A - B	D - B - A
A - B - C	A - C - B	B - C - A	B - A - C	C - A - B	C - B – A

 

Em síntese, a resposta para o desafio colocado é esta das 24 possibilidades, que mais não são do que 24 arranjos de quatro atletas, três a três. Logo, conclui-se que os arranjos de quatro atletas, três a três, é o produto das combinações desses quatro atletas, três a três, pelo factorial de três:

⁴A₃ = ⁴C₃ x 3! = 4 x 6 = 24

Vejamos um novo caso envolvendo o factorial de um número:

Tendo em conta os seguintes números: 10, 20, 30, 0, 50, 60, 70, 80, 90, como se poderá obter a soma 100, usando apenas três parcelas não repetidas?

Esta tarefa permite que se encontrem os seguintes quatro casos:

a) 70 + 20 + 10

b) 60 + 30 + 10

c) 50 + 40 + 10

d) 50 + 30 + 20

Tendo em conta estas quatro decomposições do número 100, será possível converter a figura seguinte num triângulo mágico de soma 100, isto é, poder-se-ão preencher os círculos com os valores envolvidos nestas adições para que a soma em cada lado do triângulo seja sempre 100?:

Este desafio leva a que tentemos testar as quatro somas, três de cada vez, pelo que o tema das combinações volta a estar presente. Uma vez mais, combinando as 4 somas, três a três, obtém-se o valor 4:

⁴C₃ = 4! / (4-3)! x 3! = 4 x 3! / 3! = 4

Eis as quatro combinações:

1 - a) - b) - c)

2 - a) - b) - d)

3 - a) - c) - d)

4 - b) - c) - d)

Testemos caso a caso:

1º caso com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10       b) 60 + 30 + 10         c) 50 + 40 + 10

Como facilmente se pode constatar, este é um caso de impossibilidade, porque existe uma parcela comum a todas as adições, que é o valor 10. Logo, o mesmo nunca poderia pertencer à figura devido ao facto de, no máximo, um valor apenas poder pertencer a duas adições.

Testemos o 2º caso, com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10         b) 60 + 30 + 10          d) 50 + 30 + 20

Note-se que entre a) e b) há apenas um valor comum, que é o 10. Por sua vez, entre a) e d) também só existe um valor comum, que é o 20. Por último, entre b) e d) existe outro valor comum, que é o 30. Logo, serão estes os valores a fazerem parte dos vértices do triângulo, por pertencerem, em simultâneo a duas adições. Os restantes são colocados nos espaços sobrantes, pelo que se consegue obter uma figura mágica de soma 100:

Testemos, agora, o 3º caso, que contempla as seguintes somas:

a) 70 + 20 + 10           c) 50 + 40 + 10            d) 50 + 30 + 20

Entre a) e c) existe o valor 10 como sendo o único comum; entre a) e d) existe o valor 20 e entre c) e d) existe o valor 50. Usando-os nos vértices e os restantes nos espaços sobrantes, voltamos a obter um novo caso de sucesso:

Resta testar o 4º caso, formado pelas seguintes adições:

b) 60 + 30 + 10          c) 50 + 40 + 10           d) 50 + 30 + 20

Ora, entre b) e c) existe o valor 10 comum; já entre b) e d) é o valor 30 e entre c) e d) é o valor 50. Testando estes valores, obtém-se um terceiro caso de sucesso, diferente dos dois anteriores:

Existem, pois, três respostas possíveis para a tarefa enunciada. Uma vez mais, o recuso o factorial do número teve aplicação na resolução da mesma.

Se cinco pessoas costumarem viajar todos os dias no mesmo carro, ao fim de quantos dias estará a repetir-se a forma como as mesmas vão sentadas nos cinco lugares desse carro? (nota: todos podem conduzir o carro, mas só mudam de posição ao iniciar um novo dia).

Conexões numéricas

A Matemática é fértil em situações que possibilitam o estabelecimento de várias conexões, seja entre vários dos seus conteúdos, seja com conteúdos de outras ciências ou até mesmo com a realidade do nosso dia a dia. O exemplo que seleccionei para este artigo, com carácter de recreação matemática, fica-se pela própria Matemática.

Imagine-se desafiado a tentar perceber a relação que existe nas seguintes "frases matemáticas", dando continuidade à regularidade, eventualmente, encontrada:

5 x 1 + 0²

5 x 2 + 1²

5 x 3 + 2²

Provavelmente não terá dúvidas em afirmar que para cada caso estamos na presença de números primos, pois, 5, 11 e 19 são números apenas divisíveis pela unidade e por eles próprios:

5 x 1 + 0² = 5

5 x 2 + 1² = 11

5 x 3 + 2² = 19

Aliás, ao prolongar-se esta regularidade, confirma-se a obtenção de novos números primos, pois:

5 x 4 + 3² = 29

5 x 5 + 4² = 41

Contudo, nem sempre o nosso pensamento intuitivo nos leva por caminhos matematicamente válidos, pois basta encontrarmos um contra-exemplo para que caia por terra a nossa melhor conjectura! De facto, basta seguir o padrão anterior e acrescentar-lhe um novo valor para se perceber que o resultado já não faz parte do conjunto dos números primos:

5 x 6 + 5² = 55

Quem sabe se o seu sentido de observação não o terá levado, antes, a ver os números destacados em negrito como sendo o resultado do produto de dois números consecutivos, subtraído de uma unidade:

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 1

19 = 4 x 5 - 1

29 = 5 x 6 - 1

41 = 6 x 7 - 1

55 = 7 x 8 - 1

Na perspectiva do conhecimento matemático trata-se de uma boa conclusão, pois, de facto, essa sequência numérica pode resultar da diferença entre o produto de dois números consecutivos e a unidade. Sendo assim, seria fácil propor o próximo número, que seria o resultado de 8 x 9 - 1, isto é, o 71, que, por acaso, volta a ser um número primo.

Contudo, o estabelecimento de relações pode passar, também, por se perceber o sentido do incremento desta sequência numérica. Ora, centrando a nossa atenção nessa sequência:

5 11 19 29 41 55 71 ...

Verificamos que do 1º para o 2º termo há um incremento de 6 unidades. Depois, do 2º para o 3º termo há um incremento de 8 unidades, seguindo-se um incremento de 10 unidades, e assim sucessivamente.

A lista seguinte ajuda a perceber a passagem do 1º termo para qualquer dos seguintes, evidenciando um nova regularidade:

Termo	Incremento
1° - 5
2° – 11	5 + 6
3° – 19	5 + 6 x 2 + 2 x 1
4° – 29	5 + 6 x 3 + 2 x 3
5° – 41	5 + 6 x 4 + 2 x 6
6° – 55	5 + 6 x 5 + 2 x 10

Confirma-se que o próximo termo, 71, resultará de 5 + 6 x 6 + 2 x 15. Analisando-se a coluna respeitante ao incremento a partir do 1º termo da sequência, destaca-se o facto de um dos factores da última múltiplicação em cada linha ser um número triangular (1, 3, 6 , 10, 15,...), cuja lei geral que os origina é a seguinte: (n² + n) : 2.

Logo, daqui resulta fácil a construção da lei geral que origina a sequência dos números em análise, que será: 5 + 6 (n -1) + [(n -2)² + (n - 2)] : 2.

Vimos, pois, que esta sequência de números, como tantas outras que poderíamos analisar, permite o estabelecimento de conexões muito interessantes entre vários conceitos matemáticos, como sejam os números primos, os números sucessivos ou, ainda, as potências de expoente dois ou os números quadrados e o conceito de raiz quadrada. Analise-se a relação entre a sequência dada e estas novas frases matemáticas:

5	1 x 2 x 3 x 4 + 1
11	2 x 3 x 4 x 5 + 1
19	3 x 4 x 5 x 6 + 1

Que ilações consegue retirar a partir dos valores da lista anterior? Dê continuidade a ambas as colunas!

O mundo mágico das conexões matemáticas

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.
O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:
1 - Introdução
2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton
3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação
4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras
5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas
6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos
7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos
8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados
9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares
10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos
11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos
12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos
13 - Conexões finais
14 - Bibliografia
Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

B: - Sabendo que exitesm cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

Qual a resolução de cada um?