O mundo mágico das conexões matemáticas

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.
O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:
1 - Introdução
2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton
3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação
4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras
5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas
6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos
7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos
8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados
9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares
10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos
11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos
12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos
13 - Conexões finais
14 - Bibliografia
Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

B: - Sabendo que exitesm cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

Qual a resolução de cada um?