Conexões numéricas

A Matemática é fértil em situações que possibilitam o estabelecimento de várias conexões, seja entre vários dos seus conteúdos, seja com conteúdos de outras ciências ou até mesmo com a realidade do nosso dia a dia. O exemplo que seleccionei para este artigo, com carácter de recreação matemática, fica-se pela própria Matemática.

Imagine-se desafiado a tentar perceber a relação que existe nas seguintes "frases matemáticas", dando continuidade à regularidade, eventualmente, encontrada:

5 x 1 + 0²

5 x 2 + 1²

5 x 3 + 2²

Provavelmente não terá dúvidas em afirmar que para cada caso estamos na presença de números primos, pois, 5, 11 e 19 são números apenas divisíveis pela unidade e por eles próprios:

5 x 1 + 0² = 5

5 x 2 + 1² = 11

5 x 3 + 2² = 19

Aliás, ao prolongar-se esta regularidade, confirma-se a obtenção de novos números primos, pois:

5 x 4 + 3² = 29

5 x 5 + 4² = 41

Contudo, nem sempre o nosso pensamento intuitivo nos leva por caminhos matematicamente válidos, pois basta encontrarmos um contra-exemplo para que caia por terra a nossa melhor conjectura! De facto, basta seguir o padrão anterior e acrescentar-lhe um novo valor para se perceber que o resultado já não faz parte do conjunto dos números primos:

5 x 6 + 5² = 55

Quem sabe se o seu sentido de observação não o terá levado, antes, a ver os números destacados em negrito como sendo o resultado do produto de dois números consecutivos, subtraído de uma unidade:

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 1

19 = 4 x 5 - 1

29 = 5 x 6 - 1

41 = 6 x 7 - 1

55 = 7 x 8 - 1

Na perspectiva do conhecimento matemático trata-se de uma boa conclusão, pois, de facto, essa sequência numérica pode resultar da diferença entre o produto de dois números consecutivos e a unidade. Sendo assim, seria fácil propor o próximo número, que seria o resultado de 8 x 9 - 1, isto é, o 71, que, por acaso, volta a ser um número primo.

Contudo, o estabelecimento de relações pode passar, também, por se perceber o sentido do incremento desta sequência numérica. Ora, centrando a nossa atenção nessa sequência:

5 11 19 29 41 55 71 ...

Verificamos que do 1º para o 2º termo há um incremento de 6 unidades. Depois, do 2º para o 3º termo há um incremento de 8 unidades, seguindo-se um incremento de 10 unidades, e assim sucessivamente.

A lista seguinte ajuda a perceber a passagem do 1º termo para qualquer dos seguintes, evidenciando um nova regularidade:

Termo	Incremento
1° - 5
2° – 11	5 + 6
3° – 19	5 + 6 x 2 + 2 x 1
4° – 29	5 + 6 x 3 + 2 x 3
5° – 41	5 + 6 x 4 + 2 x 6
6° – 55	5 + 6 x 5 + 2 x 10

Confirma-se que o próximo termo, 71, resultará de 5 + 6 x 6 + 2 x 15. Analisando-se a coluna respeitante ao incremento a partir do 1º termo da sequência, destaca-se o facto de um dos factores da última múltiplicação em cada linha ser um número triangular (1, 3, 6 , 10, 15,...), cuja lei geral que os origina é a seguinte: (n² + n) : 2.

Logo, daqui resulta fácil a construção da lei geral que origina a sequência dos números em análise, que será: 5 + 6 (n -1) + [(n -2)² + (n - 2)] : 2.

Vimos, pois, que esta sequência de números, como tantas outras que poderíamos analisar, permite o estabelecimento de conexões muito interessantes entre vários conceitos matemáticos, como sejam os números primos, os números sucessivos ou, ainda, as potências de expoente dois ou os números quadrados e o conceito de raiz quadrada. Analise-se a relação entre a sequência dada e estas novas frases matemáticas:

5	1 x 2 x 3 x 4 + 1
11	2 x 3 x 4 x 5 + 1
19	3 x 4 x 5 x 6 + 1

Que ilações consegue retirar a partir dos valores da lista anterior? Dê continuidade a ambas as colunas!