Regularidades geométricas e numéricas envolvendo a utilização de fósforos

Como material não estruturado, os fósforos adaptam-se bastante à exploração de múltiplos conceitos matemáticos. Desde a iniciação ao conceito de dezena, com o recurso a um vulgar elástico para a criação de um grupo de dez unidades, até ao estudo de propriedades de várias figuras geométricas, muitas explorações matemáticas podem ser feitas.

De entre alguns autores que têm dedicado alguma atenção a este recurso, destaco Baifang (1995)* e Berloquin (1991)**, por proporem actividades muito interessantes, que apelam ao prazer de se fazer matemática pela via do raciocínio e da ludicidade.

* - Baifang, L. (1995). Puzzles com fósforos. LIsboa: Gradiva.

** - Berloquin, P. (1991). 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva.

Para reflexão desta semana decidi associar os fósforos ao tema das regularidades geométricas, com o estabelecimento de conexões às respectivas regularidades de natureza numérica.

Como actividade de recreação matemática analise a seguinte sequência geométrica e tente estimar o número de fósforos necessários para se obterem 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às seguintes figuras rectangulares:

Este desafio não representará, certamente, uma grande dificuldade, pois poder-se-á estabelecer facilmente o seguinte raciocínio:

1 quadrado - 4 fósforos

2 quadrados - 7 fósforos

3 quadrados - 10 fósforos

4 quadrados - 13 fósforos, isto é, mais três fósforos do que na construção geométrica anterior. Seguindo este padrão ou regularidade, descobrir-se-á a quantidade de fósforos necessária para a obtenção de 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às figuras rectangulares propostas inicialmente. Esse valor será de 91 fósforos.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem descobrir a lei geral que suporta esta regularidade numérica de fósforos, associada ao respectivo número de quadrados que formam.

Observe-se, novamente, a quantidade de fósforos envolvida em cada uma das três construções iniciais, e estabeleçamos a respectiva interpretação numérica:

1 quadrado - 4 fósforos (4)

2 quadrados - 7 fósforos (4 + 3)

3 quadrados - 10 fósforos (4 + 3 + 3)

...

n quadrados - [4 + (n - 1 x 3)] = 4 + 3n - 3 = 3n +1

Conclui-se, pois, que para a construção de um determinado número de quadrados (n), e nas mesmas condições enunciadas nesta tarefa, o número de fósforos (f) será igual ao triplo desse número de quadrados mais uma unidade.

Logo, confirma-se que para o caso de 30 quadrados, o número de fósforos envolvidos seria 3 x 30 + 1 = 91.

Uma extensão deste desafio poderia passar pela construção de figuras quadradas, como ilustram os exemplos seguintes:

As três figuras quadradas da tabela permitem a seguinte contagem:

1 quadrado - 4 fósforos

4 quadrados - 12 fósforos

9 quadrados - 24 fósforos

Note-se a seguinte regularidade:

1 quadrado - 1 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura);

4 quadrados - 2 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 1 x 2 fósforos (linha vertical do interior) + 1 x 2 fósforos (linha horizontal do interior);

9 quadrados - 3 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 2 x 3 fósforos (linhas verticais do interior) + 2 x 3 fósforos (linhas horizontais do interior).

Em síntese, temos:

1 quadrado - 1 x 4

4 quadrados - 2 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados - 3 x 4 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n quadrados (sempre figura quadrada):

Logo, a próxima figura quadrada, formada por 16 quadrados, seria formada por 2 x (4 + 16) = 40 fósforos. Eis a respectiva figura:

Outra análise que pode ser feita para estas figuras quadradas pode passar por nos concentrarmos no número de fósforos empregues no lado de cada uma delas. Assim:

1 quadrado (1ª figura) - 4 x 1

4 quadrados (2ª figura) - 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados (3ª figura) - 4 x 3 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n-ésima figura - 4 x n + (n -1) x n + (n - 1) x n = 4n + 2(n² - n) = 4n + 2n² - 2n = 2n² + 2n = 2n (n + 1).

A título de exemplo, a próxima figura quadrada, com quatro fósforos de lado, necessitará de 2 x 4 (4 + 1) = 40 fósforos.

Tendo em conta a seguinte nova sequência de figuras triangulares, descubra a lei geral de formação e teste-a para o caso de querer saber o número de fósforos necessários para se construir uma nova figura semelhante a elas, contendo 36 triângulos: