Múltiplas conexões matemáticas envolvendo o número 120

 

Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ímpares, os que eram primos, os primos entre si, os compostos, os perfeitos, os quadrados, os triangulares, os naturais, os inteiros, os relativos, os racionais, os reais, os irracionais, etc., etc. Destes, havia alguns que se distinguiam pela sua importância histórica, como seja o 1, o zero, o pi, ou o de ouro.

Não obstante isto, tem vindo a descobrir-se coisas fantásticas acerca de outros bem mais "modestos", em termos da sua importância relativa como entes da História da Matemática, como seja o 9, o 1089, o 3037 ou o 142857. Basta uma consulta rápida na Internet para nos apercebermos das suas magníficas propriedades matemáticas.

Contudo, não é acerca destes números que eu vou incidir a minha reflexão. Decidi escolher um que, porventura, tem merecido menos elogios, mas que me agrada imenso, por permitir um leque variado de conexões a alguns conceitos matemáticos. Refiro-me ao 120.

Pois é, se eu o desafiasse a reflectir acerca da importância deste valor nas nossas vidas, facilmente o associaríamos a aspectos do tempo (sistema sexagesimal), ou ao limite de velocidade nas auto-estradas. Quantos de nós não pagaram já coimas de 120 euros por excesso de velocidade?

Já relativamente a outros conceitos matemáticos podemos associá-lo, por exemplo, ao conceito de amplitude de ângulos, designadamente aos ângulos externos de um qualquer triângulo equilátero.

Mas vejamos as seguintes propriedades mágicas deste número.

(a) Tem o privilégio de ser formado pelos três primeiros números inteiros (0, 1 e 2).

(b) Como qualquer outro número inteiro, pode ser obtido pela adição de alguns números da sequência de Finonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Eis alguns exemplos:

2 + 8 + 21 + 89 = 120

2 + 3 + 5 + 21 + 34 + 55 = 120

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 89 = 120

(c) Como se trata de um número que não é primo, pois é composto, pode ser obtido através da multiplicação de vários factores primos: 120 = 2³ x 3 x 5.

(d) Também pode ser obtido através da adição de oito dos dez primeiros números primos: 120 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29. Aliás, tendo em conta a conjectura de Goldbach, que diz que qualquer número par maior ou igual a quatro pode ser obtido pela adição de dois números primos, o 120 resultaria da adição de 103 com 17, ou de 113 com 7 ou de 117 com 3.

(e) É um número triangular, o que significa que existem dois números inteiros consecutivos que multiplicados entre si originam um produto que é o dobro desse valor 120. Refiro-me aos números 15 e 16, pois 15 x 16 = 240. De facto, o 120 é o 15º número triangular, pois 120 = [n x [n + 1)] : 2, quando n = 15.

(f) Ao adicionarmos os seus dígitos constatamos que a soma é 3, logo o 120 é divisível por 3. Este facto permite que nos questionemos acerca de quais serão os nove números inteiros consecutivos que permitem transformar a figura seguinte num quadrado mágico, de ordem três, com soma mágica 120?

Eis uma possível solução, envolvendo os seguintes números consecutivos 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44:

(g) Será que também pode ser afecto a um quadrado mágico de ordem quatro, isto é, será que existem dezasseis números inteiros consecutivos que permitem tornar a figura seguinte num quadrado mágico de soma 120?

Através dos três exemplos seguintes podemos perceber que existe uma regularidade neste tipo de figuras:

Quando a sequência se inicia pelo valor 1, a soma é 34; quando se inicia pelo valor 2, a soma é 38; quando se inicia pelo valor 3, a soma é 42. Prolongando este padrão, resulta o seguinte:

Início	Soma	Início	Soma	Início	Soma	Início	Soma
1	34	2	38	3	42	4	46
5	50	6	54	7	58	8	62
9	66	10	70	11	74	12	78
13	82	14	86	15	90	16	94
17	98	18	102	19	106	20	110
21	114	22	118	23	122

O padrão anterior permite concluir que não é possível obter-se um quadrado mágico, de ordem 4, envolvendo dezasseis números inteiros consecutivos cuja soma seja 120. O máximo que se obtém por defeito é 118 e o mínimo que se obtém por excesso é 122.

Ora se formalizarmos este padrão, percebemos que:

1 --- 34 = 34 + 0 x 4

2 --- 38 = 34 + 1 x 4

3 --- 42 = 34 + 2 x 4

4 --- 46 = 34 + 3 x 4

5 --- 50 = 34 + 4 x 4

...

n        = 34 + (n - 1) x 4

Se igualarmos este lei de formação ao valor 120, concluímos que "n" terá que ser 22,5, que será o início da seguinte sequência numérica: 22,5; 23,5; 24,5; 25,5; 26,5; 27,5; 28,5; 29,5; 30,5; 31,5; 32,5; 33,5; 34,5; 35,5; 36,5; 37,5.

Façamos o quadro:

Confirma-se, pois, que se pode construir um quadrado mágico, de ordem 4, cuja soma mágica 120 resulta da utilização dos dezasseis números decimais acima enunciados.

(h) A terminar, seria interessante investigar se o 120 resulta ou não da adição de quatro potências de base dois consecutivas.

A tabela seguinte evidencia esse possível estudo:

Note-se, pois, que as potências envolvidas são 2³, 2⁴, 2⁵ e 2⁶.

Através de uma exploração algébrica, a resolução da equação seguinte: x² + 2x² + 4x² + 8x² = 120 dar-nos-ia a resposta "8" como sendo a primeira das potências a considerar.

Faça um estudo semelhante para o caso de quatro potências consecutivas de base 3 e verá que ficará surpreendido!