segunda-feira, 31 de maio de 2010

Conexão matemática entre Geometria e Álgebra – O caso do cálculo de áreas

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Uma vez mais volto a elucidar, com um exemplo, a importância desta concepção acerca da Matemática.
O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:
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Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a2 = 142 = 196.
Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:
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Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:
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Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.
Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b2 = (a/2)2 + (a/2)2 = a2/4 + a2/4 = 2a2/4 = a2/2. Em síntese, a igualdade b2 = a2/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado de lado "a".
Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:
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O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 72 = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".
Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a2/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.
Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:
quadrado de lado "a" - sua área é a2
quadrado de lado "b" - sua área é a2/2
quadrado de lado "c" - sua área é a2/4
Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:
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Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:
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Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.
Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:
quadrado de lado "a" - sua área é a2
quadrado de lado "b" - sua área é a2/2
quadrado de lado "c" - sua área é a2/4
quadrado de lado "d" - sua área é a2/8
Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado?

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