Conexões matemáticas entre padrões numéricos e pensamento algébrico

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

Eis as figuras:

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

3     9     18     30

Vejamos a seguinte regularidade:

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n² + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

Em síntese, poder-se-á concluir que cada  figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

1 + 1 x 2	3 + 2 x 3	6 + 3 x 4	10 + 4 x 5

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n² + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n² + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n² + n) / 2 + n² + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n² + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (10² + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

55

+

10 x 11

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?