Conexões matemáticas - Da decomposição dos números aos quadrados mágicos

A decomposição de números pode servir de motivação para se abordarem múltiplos aspectos da Matemática, como seja a distinção entre número e numeral, bem como a operação adição e a sua inversa - operação subtracção - ou até mesmo algumas propriedades da adição, como seja a comutativa ou a associativa.

Pegando neste tema da decomposição dos números, imagine que é solicitado a descobrir quais os números que são possíveis decompor, tendo em conta as seguintes regras:

a) a decomposição será feita através de adições envolvendo apenas três parcelas;

b) como parcelas da adição pode utilizar apenas os nove primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

c) numa mesma adição não pode haver repetição de números.

Quais os números susceptíveis de serem decompostos e quais as decomposições possíveis para cada um desses números?

Esta situação pode ser resolvida por tentativas ou, então, através de um processo mais sistematizado, isto é, envolvendo um critério específico como o que apresento a seguir:

Soma máxima: 24 e só permite uma decomposição: 9 + 8 + 7

Soma mínima: 6 e só permite uma decomposição: 3 + 2 + 1

As restantes dezassete somas e as respectivas decomposições encontram-se nas tabelas seguintes:

Soma 24	Soma 23	Soma 22	Soma 21	Soma 20
9 + 8 + 7	9 + 8 + 6	9 + 8 + 5 9 + 7 + 6	9 + 8 + 4 9 + 7 + 5 8 + 7 + 6	9 + 8 + 3 9 + 7 + 4 9 + 6 + 5 8 + 7 + 5

Soma 19	Soma 18	Soma 17	Soma 16
9 + 8 + 2 9 + 7 + 3 9 + 6 + 4 8 + 7 + 4 8 + 6 + 5	9 + 8 + 1 9 + 7 + 2 9 + 6 + 3 9 + 5 + 4 8 + 7 + 3 8 + 6 + 4 7 + 6 + 5	9 + 7 + 1 9 + 6 + 2 9 + 5 + 3 8 + 7 + 2 8 + 6 + 3 8 + 5 + 4 7 + 6 + 4	9 + 6 + 1 9 + 5 + 2 9 + 4 + 3 8 + 7 + 1 8 + 6 + 2 8 + 5 + 3 7 + 6 + 3 7 + 5 + 4

Soma 15	Soma 14	Soma 13	Soma 12
9 + 5 + 1 9 + 4 + 2 8 + 6 + 1 8 + 5 + 2 8 + 4 + 3 7 + 6 + 2 7 + 5 + 3 6 + 5 + 4	9 + 4 + 1 9 + 3 + 2 8 + 5 + 1 8 + 4 + 2 7 + 6 + 1 7 + 5 + 2 7 + 4 + 3 6 + 5 + 3	9 + 3 + 1 8 + 4 + 1 8 + 3 + 2 7 + 5 + 1 7 + 4 + 2 6 + 5 + 2 6 + 4 + 3	9 + 2 + 1 8 + 3 + 1 7 + 4 + 1 7 + 3 + 2 6 + 5 + 1 6 + 4 + 2 5 + 4 + 3

Soma 11	Soma 10	Soma 9	Soma 8	Soma 7
8 + 2 + 1 7 + 3 + 1 6 + 4 + 1 6 + 3 + 2 5 + 4 + 2	7 + 2 + 1 6 + 3 + 1 5 + 4 + 1 5 + 3 + 2	6 + 2 + 1 5 + 3 + 1 4 + 3 + 2	5 + 2 + 1 4 + 3 + 1	4 + 2 + 1

Analizando-se as dezanove somas possíveis de ser decompostas de acordo com as regras do enunciado desta tarefa, constata-se a curiosidade de o número de decomposições para cada caso originar uma distribuição de tendência normal, como evidencia o gráfico seguinte:

Trata-se, pois, de um distribuição simétrica, em que a frequência absoluta mais elevada é 8, correpondendo às decomposições dos valores 14, 15 e 16.

Ora, tendo em conta as oito decomposições do número 15:

9 + 5 + 1 9 + 4 + 2 8 + 6 + 1 8 + 5 + 2 8 + 4 + 3 7 + 6 + 2 7 + 5 + 3 6 + 5 + 4

poderse-á analisar o número de vezes que cada um dos valores surge nessas adições. Assim, o valor mais utilizado é o 5, pois aparece em quatro decomposições. De seguida há quatro números que aparecem três vezes. São eles o 2, o 4, o 6 e o 8. Por último, os números 1, 3, 7 e 9 apenas surgem duas vezes.

Com base nesta análise, seria interessante poder colocar estes mesmos números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nas nove células seguintes, de modo que o quadrado seguinte assumisse o atributo de quadrado mágico de soma 15, isto é, as somas em quaisquer linha, coluna ou diagonal ser sempre 15. Nota: como há nove células para nove números, todos deverão ser usados e apenas uma vez:

Espera-se que a solução encontrada possa confirmar o número de vezes em que cada número é utilizado na decomposição do número 15, segundo as regras impostas por esta tarefa:

Ora, o tema dos quadrados mágicos é dos temas mais fascinantes ao nível da recreação matemática, por permitir múltiplas explorações e conexões a outros temas.

Repare que se a sequência numérica for outra, como por exemplo esta: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, a soma mágica já terá outro valor:

Note-se que quando a sequência numérica se iniciou no 1, a soma mágica foi 15; iniciando-se no 6 passou a ser 30.

Qual será a próxima sequência de nove números, designadamente o seu valor inicial, para que a soma mágica passe a ser 45? Consegue explicar o seu raciocínio?