O tema das investigações matemáticas tem vindo a ser desenvolvido com alguma frequência no seio deste blog. Desta vez vou associá-lo à área do futebol, pois trata-se de uma área que abrange muitos entusiastas.
Ora, sabendo-se que investigar em matemática deveria ser semelhante a investigar em qualquer outra área, mais ou menos científica, vamos vestir a pele de detectives matemáticos e estudar em profundidade o desenrolar de um marcador de um jogo de futebol cujo resultado final tenha sido 3 a 3.
Imagine que a sua equipa empatou com o grande rival a 3 bolas. Tendo começado a ouvir o relato que iniciou com um golo madrugador do seu clube e tendo ouvido, depois, apenas o resultado final (3-3), questionou-se a si próprio como poderia ter sido o desenrolar do marcador. Nessas seis vezes em que o marcador sofreu alteração, quantas delas tiveram o seu clube à frente? Será que esteve sempre à frente e se deixou empatar ao fim? Será que tendo começado a ganhar, logo passou a perder, tendo empatado somente ao fim? São estas, pois, as questões que orientarão a nossa investigação.
Comecemos por colocar o nosso clube o máximo de vezes à frente do marcador, isto é, 5 vezes. Quantos serão os casos possíveis? A tabela seguinte ajuda a esclarecer:
| Caso A | Caso B | ||
| Nossa Equipa | Equipa Rival | Nossa Equipa | Equipa Rival |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 0 | 2 | 1 |
| 3 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
Vejamos agora os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador em 4 vezes
| Caso C | Caso D | ||
| Nossa Equipa | Equipa Rival | Nossa Equipa | Equipa Rival |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 3 | 1 |
| 3 | 2 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
Já o número de casos em que a nossa equipa poderia ter estava à frente do marcador em 3 vezes, curiosamente também é dois. Vejamos a tabela:
| Caso E | Caso F | ||
| Nossa Equipa | Equipa Rival | Nossa Equipa | Equipa Rival |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
Curiosamente, voltam a ser dois os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador por 2 vezes:
| Caso G | Caso H | ||
| Nossa Equipa | Equipa Rival | Nossa Equipa | Equipa Rival |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 3 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
Finalmente, a possibilidade de a nossa equipa ter estado na frente do marcador por uma única vez também poderia ter ocorrido em dois casos:
| Caso I | Caso J | ||
| Nossa Equipa | Equipa Rival | Nossa Equipa | Equipa Rival |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 3 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
São, pois, estes os 10 casos que poderiam ter ocorrido perante este resultado final e tendo sido a nossa equipa a inaugurar o marcador. Haverá outros?
Seria interessante reflectir, agora, acerca de qual dos dez possíveis cenários seria o que daria mais emoção ao jogo. Claro que os momentos do jogo em que os golos foram marcados também contribuiria, decisivamente, para a componente da emoção, mas talvez os casos G ou I fossem os cenários mais emocionantes!
Imagine-se que a investigação era orientada noutro sentido, isto é, ver os casos em que a nossa equipa esteve menos vezes na frente do marcador, apesar de ter sido ela a inaugurá-lo. Qual seria o estudo a fazer-se?
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