Conexões matemáticas envolvendo um baralho de cartas

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.

Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?

A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:

Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18. 

De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18.

Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.

Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:

Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:

a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)

b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)

c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)

d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)

e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)

f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)

g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)

h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)

i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)

j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)

k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)

l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)

De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso? 

Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.

Eis outras 12 possibilidades:

a) 10 + 6 + 2 + 1

b) 10 + 5 + 3 + 1

c) 10 + 4 + 3 + 2

d) 9 + 7 + 2 + 1

e) 9 + 6 + 3 + 1

f) 9 + 5 + 4 + 1

g) 9 + 5 + 3 + 2

h) 8 + 7 + 3 + 1

i) 8 + 6 + 4 + 1

j) 8 + 6 + 3 + 2

k) 8 + 5 + 4 + 2

l) 7 + 6 + 5 + 1

m) 7 + 6 + 4 + 2

Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:

a) 10 + 6 + 2 + 1	A = 9 + 5 + 4	C = 8 + 7 + 3
b) 10 + 5 + 3 + 1	A = 9 + 7 + 2	C = 8 + 6 + 4
c) 10 + 4 + 3 + 2	A = 9 + 8 + 1	C = 7 + 6 + 5
d) 9 + 7 + 2 + 1	A = 10 + 5 + 3	C = 8 + 6 + 4
e) 9 + 6 + 3 + 1	X	X
f) 9 + 5 + 4 + 1	A = 10 + 6 + 2	C = 8 + 7 + 3
g) 9 + 5 + 3 + 2	A = 10 + 7 + 1	C = 8 + 6 + 4
h) 8 + 7 + 3 + 1	A = 10 + 6 + 2	C = 9 + 5 + 4
i) 8 + 6 + 4 + 1	A = 9 + 7 + 2	C = 10 + 5 + 3
j) 8 + 6 + 3 + 2	X	X
k) 8 + 5 + 4 + 2	A = 10 + 7 + 1	C = 9 + 6 + 3
l) 7 + 6 + 5 + 1	X	X
m) 7 + 6 + 4 + 2	A = 10 + 5 + 3	C =  9 + 8 + 1

Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:

O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?

Apresento duas possíveis soluções:

Solução A:

Solução B:

Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação?

Conectar os números pares a disposições geométricas

Muitos tipos de números já foram objecto de análise neste blog. Desde os números figurados, como sejam os números triangulares ou os números quadrados, até aos números cúbicos, todos serviram de base a explorações de natureza recreativa.

Para este novo artigo seleccionei o conjunto dos números pares. De entre múltiplas actividades que os podem envolver, escolhi algumas de natureza aditiva.

Num contexto de matemática recreativa como distribuir, na figura seguinte, os sete primeiros números pares, de modo a que a soma de "a + b + c + d" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g":

Esta tarefa poderia ser resolvida pela estratégia de tentativa e erro. Contudo, em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que "a" deveria coincidir com a soma de "g + f + e", porque a adição "b + c + d" é comum em ambos os casos.

Sendo assim, e tendo em conta estes sete primeiros números pares, os dois únicos casos em que cada um desses sete números coincide com a soma de outros três são o 12 (2 + 4 + 6) e o 14 (2 + 4 + 8). Logo, eis as duas soluções possíveis:

Vejamos agora um outro desafio, um pouco mais complexo do que o anterior:

Usando os oito primeiros números pares, como os distribuir na figura seguinte, de modo a que "a + b + c + d" seja igual a "e + f + g + h":

Esta tarefa deveria incutir nos resolvedores um sentido de indagação acerca de como os números estão relacionados na disposição geométrica da figura.

Por outro lado, sabe-se que a soma dos oito primeiros números pares é 72, pois 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72.

Como se trata de uma soma par, pode ser decomposta em dois valores iguais (72 = 36 + 36). Logo, a ser possível resolver esta tarefa, cada uma das duas partes da figura deverá estar associada a este valor 36.

Resta agora averiguar se com os valores em causa será possível obter este número duas vezes. Curiosamente o 36 permite decompor-se, também ele, em dois números iguais (18 + 18) e este valor pode ser obtido de quatro maneiras diferentes:

a) 18 = 16 + 2

b) 18 = 14 + 4

c) 18 = 12 + 6

d) 18 = 10 + 8

Tendo em conta estas quatro maneiras de se obter o valor 18, eis que existem três possibilidades de resposta à tarefa colocada:

1 - a) + b) e c) + d)

2 - a) + c) e b) + d)

3 - a) + d) e b) + c)

16 + 2 e 14 + 4                     12 + 6 e 10 + 8

16 + 2 e 12 + 6                         14 + 4 e 10 + 8

16 + 2 e 10 + 8                   14 + 4 e 12 + 6

Imagine, agora, que era solicitado a distribuir os nove primeiros números pares na figura seguinte, de modo a que a soma de "a + b + c + d + f + g + h + i" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g + h". Como fazer?

Eis quatro possíveis soluções:

Há, certamente, outras soluções. Investigue quais são e explicite o raciocínio utilizado.

Conexões matemáticas entre padrões numéricos e pensamento algébrico

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

Eis as figuras:

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

3     9     18     30

Vejamos a seguinte regularidade:

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n² + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

Em síntese, poder-se-á concluir que cada  figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

1 + 1 x 2	3 + 2 x 3	6 + 3 x 4	10 + 4 x 5

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n² + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n² + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n² + n) / 2 + n² + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n² + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (10² + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

55

+

10 x 11

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?

Conexões entre figuras mágicas e investigações matemáticas

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
1	46	9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23 7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23 9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23 8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23 8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23 8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24 8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24 8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24 8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
5	50	9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25 7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25 9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25 8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

Eis os três casos possíveis:

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

Valor a repetir	Soma final
1	46
2	47
3	48
4	49
5	50
6	51
7	52
8	53
9	54

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

Vejamos a tabela respectiva:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32 6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

Conexões entre Matemática e Balística – os números tetraédricos

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10 2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20 3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n² + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (6² + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

Eis a respectiva figura:

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações: (³C₃, ⁴C₃, ⁵C₃, ⁶C₃, ⁷C3, ⁸C₃, ⁹C₃, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva  a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido.