Conexão matemática entre Geometria e Álgebra – O caso do cálculo de áreas

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Uma vez mais volto a elucidar, com um exemplo, a importância desta concepção acerca da Matemática.

O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:

Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a² = 14² = 196.

Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:

Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:

Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.

Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b² = (a/2)² + (a/2)² = a²/4 + a²/4 = 2a²/4 = a²/2. Em síntese, a igualdade b² = a²/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado de lado "a".

Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:

O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 7² = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".

Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a²/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.

Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:

quadrado de lado "a" - sua área é a²

quadrado de lado "b" - sua área é a²/2

quadrado de lado "c" - sua área é a²/4

Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:

Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:

Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.

Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:

quadrado de lado "a" - sua área é a²

quadrado de lado "b" - sua área é a²/2

quadrado de lado "c" - sua área é a²/4

quadrado de lado "d" - sua área é a²/8

Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado?

Conectar a resolução de problemas ao pensamento algébrico

Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, como um contexto de aprendizagem propício ao desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Neste artigo pretendo evidenciar como a escolha de alguns problemas pode contribuir para que se desenvolva a temática do pensamento algébrico.

Vou partir de um enunciado, adaptado de um excelente livro de Vivien Lucas, intitulado "Um Problema por Dia"*, cujo texto é o seguinte: "A Letícia Triângulo estava a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante 5 minutos no 1º dia, 15 minutos no 2º dia, 25 minutos no 3º dia e assim sucessivamente." (p. 93).

Qual o dia que ela começou a praticar mais de metade do dia?

* - Lucas, V. (2003). Um Problema por Dia. Lisboa. Replicação.

Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e o tempo gasto a treinar piano:

1º dia - 5 minutos

2º dia - 15 minutos

3º dia - 25 minutos

Além disto, teremos de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto é, em 12 horas. Ora 12 x 60 = 720 minutos. É este o tempo de treino correspondente a metade de um dia.

Uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

Dia	Tempo Gasto (minutos)
1º	5
2º	5 + 1 x (2 x 5) = 15
3º	5 + 2 x (2 x 5) = 25

Tendo em conta a tabela anterior seria desejável que me contexto de sala de aula os alunos concluíssem que o 4º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de dias menos um (d - 1) por dez, isto é: d = 5 + (d - 1) x (2 x 5).

Ora, uma estimativa interessante para se chegar ao valor de 720 minutos, corerspondente a 12 horas de treino diário seria o valor 72º dia, pois se d = 72 implica que 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 71 x 10 = 715 minutos. Ora, este valor fica ligeiramente abaixo do valor esperado, pelo que se justifica testar para o 73º dia. Assim sendo, 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 72 x 10 = 725 minutos. Será, pois, a partir do 73º dia que a Letícia treinará mais do que metade do dia.

Imagine-se que a sua amiga, Joana Quadrado, também estava a iniciar o seu treino de piano e decidiu treinar por dia o dobro do tempo que a Letícia treinava, começando em 10 minutos no 1º dia. Será que precisaria de metade dos dias da Letícia para passar a treinar pelo menos metade do dia?

Sabendo isto, a irmã gémea da Joana, de nome Rita Quadrado, decidiu fazer um plano de treino, cujos tempos diários eram sempre o dobro da sua irmã. De quantos dias precisará para começar a treinar mais do que metade do dia?

Conexões matemáticas entre decomposição de números e triângulos mágicos

Esta semana vou dedicar as próximas palavras a um tipo de figuras mágicas: os triângulos envolvendo 9 números.

A figura seguinte, formada por nove espaços, deverá ser preenchida pelos números se 1 a 9, inclusive, sem se repetir qualquer desses números e estando todos presentes, de modo a que a soma de cada um dos três lados do triangulo seja sempre a mesma:

Em contexto de recreação matemática, por via da tentativa e erro, poderão surgir algumas respostas correctas, como a que a seguir evidencio, de soma mágica 21:

Contudo, em contexto de sala de aula, a tarefa colocada acima deveria constituir uma verdadeira tarefa de investigação matemática. De facto, seria interessante que os alunos pudessem analisar o que se lhes está a pedir e concluíssem que estão sempre envolvidas três somas com quatro parcelas cada uma. Além disto, entre cada duas destas três somas só poderá haver um número comum, que será o vértice comum a ambas.

Curiosamente, a figura acima tem como vértices os três múltiplos do 3, o que implica conjecturar que a duplicação de todos os números envolvidos nessa figura originaria uma soma que seria o dobro desta, isto é, 42. Vamos testar:

Seria muito interessante que os alunos concluíssem que estamos na presença de uma figura mágica em que apenas estiveram envolvidos os nove primeiros números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, voltando a estar nos vértices, três múltiplos do 3.

Contudo, voltemos ao desafio inicial. Seria de grande pertinência se os alunos, em contexto de sala de aula, concluíssem que há uma soma mínima, envolvendo quatro dos números propostos. Essa soma é 15, pois 9 + 1 + 2 + 3 = 15.

Vamos, então, decompor o 15 em quatro parcelas diferentes, para vermos quantos casos existem:

A - 9 + 1 + 2 + 3 = 15

B - 8 + 1 + 2 + 4 = 15

C - 7 + 1 + 2 + 5 = 15

D - 7 + 1 + 3 + 4 = 15

E - 6 + 1 + 3 + 5 = 15

F - 6 + 2 + 3 + 4 = 15

Estes seis casos deverão ser combinados três a três, o que origina 20 combinações:

A - B - C	A - B - D	A - B - E	A - B - F	A - C - D
A - C - E	A - C - F	A - D - E	A - D - F	A - E - F
B - C - D	B - C - E	B - C - F	B - D - E	B - D - F
B - E - F	C - D - E	C - D - F	C - E - F	D - E - F

Os alunos deveriam investigar cada uma destas 20 possibilidades, mas é fácil concluir que nenhuma delas origina a soma mágica 15. A razão prende-se no facto de não haver qualquer caso em que entre cada duas adições apenas exista um número comum. Note-se que nas seis primeiras existe sempre o valor 1, o que condiciona a escolha de duas dessas adições, pois já não poderá haver mais nenhum número comum às duas que se escolherem.

Poder-se-ia, por exemplo, pensar na adição C e na adição F, por só terem o valor 2 em comum. Contudo, ao escolher-se a adição A já tem o 1 e 2 comum a C; se se escolher a adição B, esta também tem os valores 1 e 2 comuns a C; por sua vez, se a opção for a adição D, esta tem os valores 1 e 7 comuns a C; por fim, a adição E tem o 1 e o 5 comuns a C. Logo, conclui-se que para uma figura deste tipo, apesar de se conseguirem fazer 20 combinações diferentes do valor 15, não é possível obter-se uma figura mágica.

Acima aparece um caso de sucesso, de soma 21. Haverá mais casos de sucesso para esta soma?

Sugiro que se faça a decomposição do 21 em adições de quatro parcelas diferentes para se descobrir o número de combinações possíveis. A seguir dever-se-ão testar algumas delas. Apresento apenas mais um caso de sucesso para essa soma:

Haverá outros casos de sucesso para esta soma mágica?

Conexões matemáticas e pensamento algébrico

Conectar múltiplos conceitos entre si permite evidenciar a Matemática como sendo uma ciência harmoniosa, bela, muito bela, capaz de encantar os mais cépticos na hora da resolução de actividades, designadamente as de tipo recreativo. A figura seguinte pretende ser usada como essência para promovermos algumas interessantes reflexões a este respeito:

Importa, em primeiro lugar, tentar descrever a figura, isto é, como ela é constituída:

- Note-se que se trata de uma figura quadrada, formada exclusivamente por quadrados mais pequenos, todos eles geometricamente iguais.

- Além disto, ela tem quatro anéis, formados por números naturais consecutivos. No 1º caso começa no 1 e termina no 4, no 2º caso começa no 5 e termina mo 16, no 3º caso começa no 17 e termina no 36 e o último anel começa-se com o 37 e termina-se no 64.

- O número de quadrados numéricos unitários de cada anel obedece a uma regularidade: 4, 12, 20, 28, isto é, sendo "a" o número de ordem de cada anel, a lei geral que determina o número de quadrados por anel é a seguinte: 4 + a x 8, pertencendo "a" ao conjunto dos números inteiros.

- É interessante analisar-se o conjunto dos maiores números de cada anel: 4, 16, 36 e 64. Certamente terá observado que se trata dos quadrados dos quatro primeiros números pares, isto é: 2², 4², 6² e 8².

- Será interessante perguntarmos onde estarão posicionados os quadrados dos quatro primeiros números ímpares?: 1, 9, 25, 49.

Uma observação mais atenta permite a constatação de que todos eles estão numa mesma linha oblíqua:

Tendo em conta as análises acabadas de fazer, qual será o maior número do próximo anel? Será que o quadrado do próximo número ímpar continuará na mesma linha oblíqua dos quadrados dos números ímpares anteriores?

A figura seguinte certifica que estaremos na presença do quadrado do próximo número par (100) e na presença do quadrado do próximo número ímpar (81), que é o quadrado do 9:

Se a figura se prolongasse até ao vigésimo anel, qual seria o maior valor desse anel? E qual seria o quadrado do número ímpar a dar continuidade à linha dos quadrados do números ímpares?

Conexões matemáticas envolvendo hexágonos regulares

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste blog. Desta vez vou conectar uma das mais importantes figuras geométricas  - o hexágono - a regularidades de natureza numérica.

A figura seguinte, iniciada pelos primeiros cinco números naturais é construída da seguinte forma: qualquer valor numérico, exceptuando os da linha de cima, resulta da soma dos dois números que estão sobre ele na fila imediatamente acima. Quando a soma de dois desses valores ainda tem dois dígitos, estes adicionam-se e apenas o valor desta soma é colocado na figura. A título de exemplo, 5 + 7 = 12 e 1 + 2 = 3. Logo, será o valor 3 a colocar sob os valores 5 e 7:

Investigar qual será o valor final se se substituírem os valores da linha de topo pelos respectivos dobros.

Este desafio suscita que se possa conjecturar que o valor final também será o dobro do valor final existente na figura anterior. Testemos esta conjectura:

Confirma-se, pois, a estimativa acabada de fazer, o que nos leva a pensar que se a linha de topo for formada por valores que são o triplo dos respectivos valores iniciais, o valor final também será triplo do primeiro valor final. Eis a figura que confirma esta ideia:

Como será o estudo semelhante para os cinco números naturais consecutivos iniciados pelo 2? E com os seus respectivos dobros e triplos também ocorrerão regularidades semelhantes a estas acabadas de verificar?

As três figuras seguintes permitem verificar-se que sim:

De facto, o valor final passou de 1 para o seu dobro (2) e para o seu triplo (3), respectivamente.

Tendo em conta a investigação acabada de realizar, explique a relação que existe entre as três figuras seguintes:

Conexões matemáticas à magia das cartas

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretenderem saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

Início	Após voltar as distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

Início	Após voltar a distribuir as cartas	Após voltar as cartas

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11  e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita,  estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Conexões entre regularidades numéricas e pavimentações

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O exemplo que trago à reflexão desta vez prende-se com essa ideia e, com isso, viso abordar o tema dos padrões de repetição.

Utilizando os números de 1 a 8, inclusive, colocá-los nos círculos seguintes, todos e apenas uma só vez, de modo que a soma de b + d + f + h seja o dobro da soma de a + c + e + g e que a soma em cada lado da figura exterior seja sempre a mesma:

Este desafio implica que se tenha em conta a soma total que está em jogo ao usarem-se estes oito números. Esta soma é 36, pois 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.

Por outro lado teremos de distribuir estes oito números de modo que b + d + f + h = 2 (a + c + e + g).

Sendo assim, teremos de ver se a soma 36 é divisível por 3, para que ao juntarem-se duas dessas três partes se obtenha um valor que é dobro da outra terça parte. Como a soma dos seus dígítos é um múltiplo de três (3 + 6 = 9), logo o 36 é divisível por 3. Origina um quociente 12.

Tendo em conta esta reflexão teórica resta tentar obter o valor 12 através da adição de quatro desses oito números disponíveis.

Vejamos:

a) 6 + 3 + 2 + 1 = 12

b) 5 + 4 + 2 + 1 = 12

Existem, pois, duas possibilidades de obtenção de soma 12 nas condições enunciadas acima.

De seguida teremos de testar se os outros quatro números restantes permitem obter uma soma que é dobro de 12, isto é, 24. Vejamos para cada um dos casos anteriores:

a) 4 + 5 + 7 + 8 = 24

b) 3 + 6 + 7 + 8 = 24

Em ambos os casos se obtém a soma 24 pretendida. Testemos, então, a sua distribuição nos oitos espaços da figura, tendo também em conta que a soma dos valores em cada lado da figura exterior seja sempre igual. Vejamos os primeiros valores:

Confirma-se que a soma dos valores existentes nos quatro vértices da figura inscrita é o dobro da soma dos valores existentes nos vértices da figura que inscreve aquela e que a soma dos valores de cada lado da figura exterior é sempre a mesma.

Testemos, agora, os segundos valores (5 + 4 + 2 + 1 e 3 + 6 + 7 + 8):

Note-se que para a distribuição dos valores nos vértices da figura exterior existem 3 possibilidades, isto é, o 5 pode ficar anexo do 4 e do 2, ou do 1 e do 4 ou do 2 e do 1:

Testando a distribuição dos outros quatro números, não é possível em qualquer caso obter-se para os quatro valores da figura inscrita uma soma que seja o dobro daqueles quatro valores, de modo a que a soma dos valores da figura exterior seja sempre a mesma. Eis a melhor aproximação possível, onde se evidencia, pois, a impossibilidade desta opção:

A tarefa colocada tem, pois, uma única solução.

Imaginemos a replicação da figura de sucesso de modo a obter-se a figura seguinte:

Que aspectos matemáticos interessantes poderia destacar?

Veja, por exemplo, que as somas dos valores envolvidos nos dois eixos de simetria são números ímpares consecutivos, respectivamente 21 e 23.

Por outro lado, as somas dós valores envolvidos nas linhas oblíquas obedece à seguinte regularidade: 9, 24, 24, 9.

Note-se, ainda que estes quatro valores (9, 24, 24, 9) coincidem com as somas dos valores existentes nos lados dos dois rectângulos que se intersectam.

E no caso de este padrão se repetir, de forma a fazer crescer a pavimentação? Veja-se a figura resultante:

Que regularidades matemáticas podem ser agora evidenciadas?

Veja, por exemplo, que a a soma dos valores existentes em cada linha horizontal obedece à seguinte regularidade: (38, 40, 38, 40, 38). Já a nível vertical, a regularidade é a seguinte: (38, 41, 38, 41, 38).

Por sua vez, em termos de linhas oblíquas, a regularidade numérica verificada é a seguinte: (9, 24, 33, 48, 48, 33, 24, 9).

Faça um estudo, em todo semelhante ao que acabei de fazer, para o caso de os oito números envolvidos passarem a ser os oito primeiros números pares. Será que as regularidades e possibilidades de pavimentação agora obtidas se mantêm? Haverá padrões de crescimento?