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Conexão matemática entre Geometria e Álgebra – O caso do cálculo de áreas

2010-05-31T16:43:00.001-07:00

Conectar vários conceitos matemáticos entre si tem sido uma forte aposta deste blog. Uma vez mais volto a elucidar, com um exemplo, a importância desta concepção acerca da Matemática.

O exemplo que escolhi tem a ver com o cálculo de áreas pelo método da decomposição passando, depois, pela sua exploração algébrica. Vejamos a figura seguinte e calculemos a área do quadrilátero de lado "a", tendo em conta que a unidade de área é a área ocupada pelo menor quadrado que faz parte da malha quadrada onde esse quadrilátero se encontra:

Ora, como se trata de um quadrado com 14 quadrículas de lado, tem de área 14 x 14 = 196 unidades de área. Isto é, como a = 14, então a área da figura é a² = 14² = 196.

Analisemos, de seguida a figura de lado "b" e calculemos a sua área:

Um processo simples de realizar o cálculo é decompor a figura inicial, de lado "a" em 4 quadriláteros:

Note-se que a figura de lado "b" ocupa sempre metade de cada um dos quatro quadriláteros em que a figura de lado "a" foi decomposta. Logo, podemos concluir que a área da figura de lado "b" é metade da área da figura de lado "a", isto é, 98 unidades de área.

Em termos algébricos seria interessante que os alunos concluíssem que o lado do quadro menor - lado "b" - é a hipotenusa do triângulo rectângulo isósceles de lado "a/2". Logo, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, conclui-se que b² = (a/2)² + (a/2)² = a²/4 + a²/4 = 2a²/4 = a²/2. Em síntese, a igualdade b² = a²/2 significa que a área do quadradado de lado "b" é metade da área do quadrado de lado "a".

Qual será a área do quadrado de lado "c", comparativamente à área do quadrado de lado "a"?:

O Quadrado de lado "c" tem de lado 7 quadrículas unitárias. Logo, a sua área é 7² = 49 unidades de área. Note-se que esta área é metade da área do quadrado de lado "b" e quarta parte da área do quadrado de lado "a".

Em termos algébricos, e tal como a figura sugere, o comprimento do lado "c" é metade do comprimento do lado "a", isto é: c = a/2. Logo, o cálculo da área do quadrado de lado "c" é a seguinte: a/2 x a/2 = a²/4. Daqui conclui-se que a área do quadrado de lado "c" é a quarta parte da área do quadrado de lado "a". Logo 196 : 4 = 49 unidades de área.

Analisando-se estes três casos, consta-se a existência de um padrão ou regularidade:

quadrado de lado "a" - sua área é a²

quadrado de lado "b" - sua área é a²/2

quadrado de lado "c" - sua área é a²/4

Tendo em conta esta regularidade, é admissível que surja a estimativa de que a próxima figura terá de área a/8, isto é, será um oitavo da área da figura do quadrado de lado "a" ou metade da área da quadrado de lado "c". Eis a figura respectiva:

Confirma-se, pois que a área do quadrado de lado "d" é metade da área do quadrado de lado "c", isto é, 24,5 unidades de área, como mostra a decomposição seguinte:

Note-se que conseguimos identificar 14 quadrículas inteiras, mais 10 por junção de quadrículas adjacentes, mais meia quadrícula que é a que resulta dos quatro triângulos assinalados a vermelho. Logo, a área da figura de lado "d" é 24,5 unidades de área.

Voltando à regularidade acima assinalada, podemos acrescentar esta nova linha:

quadrado de lado "a" - sua área é a²

quadrado de lado "b" - sua área é a²/2

quadrado de lado "c" - sua área é a²/4

quadrado de lado "d" - sua área é a²/8

Dando continuidade a esta regularidade, qual será a área do oitavo quadrado?

Conectar a resolução de problemas ao pensamento algébrico

2010-05-17T18:15:00.001-07:00

Desde a década de 90 do século passado que o tema da resolução de problemas tem sido considerado, de forma explícita, como um contexto de aprendizagem propício ao desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Neste artigo pretendo evidenciar como a escolha de alguns problemas pode contribuir para que se desenvolva a temática do pensamento algébrico.

Vou partir de um enunciado, adaptado de um excelente livro de Vivien Lucas, intitulado "Um Problema por Dia"*, cujo texto é o seguinte: "A Letícia Triângulo estava a aprender a tocar piano. Decidiu praticar durante 5 minutos no 1º dia, 15 minutos no 2º dia, 25 minutos no 3º dia e assim sucessivamente." (p. 93).

Qual o dia que ela começou a praticar mais de metade do dia?

* - Lucas, V. (2003). Um Problema por Dia. Lisboa. Replicação.

Este problema obriga a que se relacione o número do dia, em termos de números ordinais, e o tempo gasto a treinar piano:

1º dia - 5 minutos

2º dia - 15 minutos

3º dia - 25 minutos

Além disto, teremos de calcular quantos minutos estão implícitos em metade do dia, isto é, em 12 horas. Ora 12 x 60 = 720 minutos. É este o tempo de treino correspondente a metade de um dia.

Uma tabela poderá ajudar a sistematizar o que se conhece:

Dia	Tempo Gasto (minutos)
1º	5
2º	5 + 1 x (2 x 5) = 15
3º	5 + 2 x (2 x 5) = 25

Tendo em conta a tabela anterior seria desejável que me contexto de sala de aula os alunos concluíssem que o 4º dia já implicava 5 + 3 x (2 x 5) minutos, isto é, 35 minutos de treino de piano.

Dando continuidade a outros exemplos, facilmente se chega à lei geral em que o número do dia (d) é igual à soma de 5 com o produto de o número de dias menos um (d - 1) por dez, isto é: d = 5 + (d - 1) x (2 x 5).

Ora, uma estimativa interessante para se chegar ao valor de 720 minutos, corerspondente a 12 horas de treino diário seria o valor 72º dia, pois se d = 72 implica que 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 71 x 10 = 715 minutos. Ora, este valor fica ligeiramente abaixo do valor esperado, pelo que se justifica testar para o 73º dia. Assim sendo, 5 + (d - 1) x (2 x 5) = 5 + 72 x 10 = 725 minutos. Será, pois, a partir do 73º dia que a Letícia treinará mais do que metade do dia.

Imagine-se que a sua amiga, Joana Quadrado, também estava a iniciar o seu treino de piano e decidiu treinar por dia o dobro do tempo que a Letícia treinava, começando em 10 minutos no 1º dia. Será que precisaria de metade dos dias da Letícia para passar a treinar pelo menos metade do dia?

Sabendo isto, a irmã gémea da Joana, de nome Rita Quadrado, decidiu fazer um plano de treino, cujos tempos diários eram sempre o dobro da sua irmã. De quantos dias precisará para começar a treinar mais do que metade do dia?

Conexões matemáticas entre decomposição de números e triângulos mágicos

2010-05-09T17:35:00.001-07:00

Esta semana vou dedicar as próximas palavras a um tipo de figuras mágicas: os triângulos envolvendo 9 números.

A figura seguinte, formada por nove espaços, deverá ser preenchida pelos números se 1 a 9, inclusive, sem se repetir qualquer desses números e estando todos presentes, de modo a que a soma de cada um dos três lados do triangulo seja sempre a mesma:

Em contexto de recreação matemática, por via da tentativa e erro, poderão surgir algumas respostas correctas, como a que a seguir evidencio, de soma mágica 21:

Contudo, em contexto de sala de aula, a tarefa colocada acima deveria constituir uma verdadeira tarefa de investigação matemática. De facto, seria interessante que os alunos pudessem analisar o que se lhes está a pedir e concluíssem que estão sempre envolvidas três somas com quatro parcelas cada uma. Além disto, entre cada duas destas três somas só poderá haver um número comum, que será o vértice comum a ambas.

Curiosamente, a figura acima tem como vértices os três múltiplos do 3, o que implica conjecturar que a duplicação de todos os números envolvidos nessa figura originaria uma soma que seria o dobro desta, isto é, 42. Vamos testar:

Seria muito interessante que os alunos concluíssem que estamos na presença de uma figura mágica em que apenas estiveram envolvidos os nove primeiros números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, voltando a estar nos vértices, três múltiplos do 3.

Contudo, voltemos ao desafio inicial. Seria de grande pertinência se os alunos, em contexto de sala de aula, concluíssem que há uma soma mínima, envolvendo quatro dos números propostos. Essa soma é 15, pois 9 + 1 + 2 + 3 = 15.

Vamos, então, decompor o 15 em quatro parcelas diferentes, para vermos quantos casos existem:

A - 9 + 1 + 2 + 3 = 15

B - 8 + 1 + 2 + 4 = 15

C - 7 + 1 + 2 + 5 = 15

D - 7 + 1 + 3 + 4 = 15

E - 6 + 1 + 3 + 5 = 15

F - 6 + 2 + 3 + 4 = 15

Estes seis casos deverão ser combinados três a três, o que origina 20 combinações:

A - B - C	A - B - D	A - B - E	A - B - F	A - C - D
A - C - E	A - C - F	A - D - E	A - D - F	A - E - F
B - C - D	B - C - E	B - C - F	B - D - E	B - D - F
B - E - F	C - D - E	C - D - F	C - E - F	D - E - F

Os alunos deveriam investigar cada uma destas 20 possibilidades, mas é fácil concluir que nenhuma delas origina a soma mágica 15. A razão prende-se no facto de não haver qualquer caso em que entre cada duas adições apenas exista um número comum. Note-se que nas seis primeiras existe sempre o valor 1, o que condiciona a escolha de duas dessas adições, pois já não poderá haver mais nenhum número comum às duas que se escolherem.

Poder-se-ia, por exemplo, pensar na adição C e na adição F, por só terem o valor 2 em comum. Contudo, ao escolher-se a adição A já tem o 1 e 2 comum a C; se se escolher a adição B, esta também tem os valores 1 e 2 comuns a C; por sua vez, se a opção for a adição D, esta tem os valores 1 e 7 comuns a C; por fim, a adição E tem o 1 e o 5 comuns a C. Logo, conclui-se que para uma figura deste tipo, apesar de se conseguirem fazer 20 combinações diferentes do valor 15, não é possível obter-se uma figura mágica.

Acima aparece um caso de sucesso, de soma 21. Haverá mais casos de sucesso para esta soma?

Sugiro que se faça a decomposição do 21 em adições de quatro parcelas diferentes para se descobrir o número de combinações possíveis. A seguir dever-se-ão testar algumas delas. Apresento apenas mais um caso de sucesso para essa soma:

Haverá outros casos de sucesso para esta soma mágica?

Conexões matemáticas e pensamento algébrico

2010-04-11T16:20:00.001-07:00

Conectar múltiplos conceitos entre si permite evidenciar a Matemática como sendo uma ciência harmoniosa, bela, muito bela, capaz de encantar os mais cépticos na hora da resolução de actividades, designadamente as de tipo recreativo. A figura seguinte pretende ser usada como essência para promovermos algumas interessantes reflexões a este respeito:

Importa, em primeiro lugar, tentar descrever a figura, isto é, como ela é constituída:

- Note-se que se trata de uma figura quadrada, formada exclusivamente por quadrados mais pequenos, todos eles geometricamente iguais.

- Além disto, ela tem quatro anéis, formados por números naturais consecutivos. No 1º caso começa no 1 e termina no 4, no 2º caso começa no 5 e termina mo 16, no 3º caso começa no 17 e termina no 36 e o último anel começa-se com o 37 e termina-se no 64.

- O número de quadrados numéricos unitários de cada anel obedece a uma regularidade: 4, 12, 20, 28, isto é, sendo "a" o número de ordem de cada anel, a lei geral que determina o número de quadrados por anel é a seguinte: 4 + a x 8, pertencendo "a" ao conjunto dos números inteiros.

- É interessante analisar-se o conjunto dos maiores números de cada anel: 4, 16, 36 e 64. Certamente terá observado que se trata dos quadrados dos quatro primeiros números pares, isto é: 2², 4², 6² e 8².

- Será interessante perguntarmos onde estarão posicionados os quadrados dos quatro primeiros números ímpares?: 1, 9, 25, 49.

Uma observação mais atenta permite a constatação de que todos eles estão numa mesma linha oblíqua:

Tendo em conta as análises acabadas de fazer, qual será o maior número do próximo anel? Será que o quadrado do próximo número ímpar continuará na mesma linha oblíqua dos quadrados dos números ímpares anteriores?

A figura seguinte certifica que estaremos na presença do quadrado do próximo número par (100) e na presença do quadrado do próximo número ímpar (81), que é o quadrado do 9:

Se a figura se prolongasse até ao vigésimo anel, qual seria o maior valor desse anel? E qual seria o quadrado do número ímpar a dar continuidade à linha dos quadrados do números ímpares?

Conexões matemáticas envolvendo hexágonos regulares

2010-04-06T15:50:00.001-07:00

O tema das regularidades e dos padrões, quer sejam numéricos ou geométricos, tem merecido alguma reflexão no seio deste blog. Desta vez vou conectar uma das mais importantes figuras geométricas - o hexágono - a regularidades de natureza numérica.

A figura seguinte, iniciada pelos primeiros cinco números naturais é construída da seguinte forma: qualquer valor numérico, exceptuando os da linha de cima, resulta da soma dos dois números que estão sobre ele na fila imediatamente acima. Quando a soma de dois desses valores ainda tem dois dígitos, estes adicionam-se e apenas o valor desta soma é colocado na figura. A título de exemplo, 5 + 7 = 12 e 1 + 2 = 3. Logo, será o valor 3 a colocar sob os valores 5 e 7:

Investigar qual será o valor final se se substituírem os valores da linha de topo pelos respectivos dobros.

Este desafio suscita que se possa conjecturar que o valor final também será o dobro do valor final existente na figura anterior. Testemos esta conjectura:

Confirma-se, pois, a estimativa acabada de fazer, o que nos leva a pensar que se a linha de topo for formada por valores que são o triplo dos respectivos valores iniciais, o valor final também será triplo do primeiro valor final. Eis a figura que confirma esta ideia:

Como será o estudo semelhante para os cinco números naturais consecutivos iniciados pelo 2? E com os seus respectivos dobros e triplos também ocorrerão regularidades semelhantes a estas acabadas de verificar?

As três figuras seguintes permitem verificar-se que sim:

De facto, o valor final passou de 1 para o seu dobro (2) e para o seu triplo (3), respectivamente.

Tendo em conta a investigação acabada de realizar, explique a relação que existe entre as três figuras seguintes:

Conexões matemáticas à magia das cartas

2010-03-26T16:14:00.001-07:00

Uma das actividades que costuma ter mais impacto em contexto de matemática recreativa é a que recorre a um normal baralho de cartas. Este objecto lúdico possibilita a criação de cenários de magia matemática, permitindo que um qualquer "mago", mais ou menos experiente na arte da prestigiditação possa deslumbrar os seus interlocutores.

Por norma, quando um bom truque tem êxito junto de uma audiência, esta sente uma curiosidade imediata em pretenderem saber a causa ou a razão do seu sucesso. Ora, muitas vezes a causa tem a sua origem na Matemática. O exemplo que apresento a seguir dá conta da importância da Matemática nessa área da magia com cartas:

Colocam-se 21 cartas viradas para cima em três montes de 7 cartas cada um. De seguida escolhe-se uma dessas cartas, revelando-se apenas o monte a que ela pertence. O "mago" coloca o monte onde está essa carta no meio dos outros dois montes e de seguida volta a dispor as 21 cartas em três montes com 7 cada. Este pergunta ao seu interlocutor em que monte se encontra a carta por si escolhida. Após resposta deste, o "mago" volta a colocar o monte das cartas, onde está a seleccionada, no meio dos outros dois montes e repete uma última vez o processo, isto é, volta a dispor as cartas em três montes e volta a perguntar em que monte se encontra a carta seleccionada pelo seu interlocutor. Após ouvida a resposta, volta a colocar o monte a que pertence esta carta no meio dos outros dois montes. Vira as cartas para baixo e faz sair uma carta por cada letra da seguinte frase, que vai dizendo em voz alta: "É esta a carta". A última carta a ser saída será a carta seleccionada pelo seu interlocutor.

Experimente esta tarefa várias vezes e tente encontrar uma explicação para o ocorrido.

Este fascinante truque de cartas tem uma explicação de natureza matemática. Em contexto de sala de aula os alunos deveriam encará-lo como sendo uma tarefa de investigação, de modo a descobrirem a causa da sua ocorrência. Assim, a figura seguinte visa evidenciar uma possível explicação para este truque. Para tal vamos centrar a nossa atenção, por exemplo, no monte do meio e na primeira carta desse monte, isto é, na carta nº 8:

De seguida colocarmos o monte a que pertence a nossa carta seleccionada entre as cartas do monte A e as cartas do monte C e voltamos a distribuí-las pelos três montes de acordo com o esquema da figura seguinte:

Neste caso, a carta seleccionada ficou posicionada na terceira linha da coluna B. Ora, voltamos a colocar este monte de cartas entre o monte de cartas A e o monte de cartas C. Ao distribuí-las pela última vez, e de acordo com o mesmo critério anterior, eis onde fica posicionada a nossa carta:

Verifica-se que a carta seleccionada ficou posicionada na quarta linha do monte A. Então, para se revelar a carta junto do nosso interlocutor, o que há a fazer e colocar o monte da carta seleccionada entre o monte C e o monte B. Ao fazermos isto, virando as cartas para baixo, a carta seleccionada, e mantida em segredo, será descoberta ao dizer-se a última letra da seguinte frase: "É esta a carta".

Este é, pois, um possível estudo para o caso de a carta seleccionada ser a primeira do monte central, isto é, a oitava carta. Como será a solução no caso e a carta a seleccionar ser a segunda do monte central, isto é, a 9ª carta?

A tabela seguinte evidencia cada movimento das cartas, bem como o poscionamento da carta seleccionada:

Início	Após voltar as distribuir as cartas	Após voltar a distribuir as cartas

Note-se a curiosidade de a carta escolhida desta vez voltar a ficar posicionada no mesmo local da carta seleccionada da primeira vez. Será sempre assim com as restantes cartas deste monte central?

A tabela seguinte visa evidenciar o estudo feito para as cinco restantes cartas deste monte:

Início	Após voltar a distribuir as cartas	Após voltar as cartas

Analisando-se a tabela anterior constata-se que o posicionamento final para as cartas 10, 11 e 12 é sempre o mesmo, mas diferente dos dois casos anteriormente analisados. Nestes três últimos casos, as cartas ficam posicionadas no monte B, ainda que na quarta linha do monte, como anteriormente se havia verificado.

Já as duas últimas cartas do monte central, a 13ª e a 14ª cartas, mudam de monte na posição final, pois passam para o monte C, mas também se mantêm na quarta linha do respectivo monte.

Em síntese, relativamente ao monte central, independentemente da carta que inicialmente se seleccione, no final ocupará a quarta linha do monte a vier fazer parte. Ao colocar-se este monte no meio dos outros dois ficará sempre com que a carta seleccionada fique a ocupar a posição 11, precisamente o número de letra da frase "É esta a carta".

O que acontecerá se a carta inicialmente seleccionada for uma das sete cartas do monte A ou do C? Faça o respectivo estudo e retire conclusões.

Um truque bem mais simples é o que apresento a seguir, adaptado da obra de Joe Fullman (2009)*:

"Pedir a um interlocutor para dividir um normal baralho de 52 cartas em dois montes. De seguida deve fixar a última carta de um dos montes, mantendo-a em segredo. O realizador do truque deve colocar o monte desta carta sobre o outro, ambos voltados para baixo. Em continuação, o interlocutor é convidado a distribuir as cartas, uma a uma, voltadas para baixo, formando quatro montes. Revela o monte onde está a carta seleccionada e o realizador do truque coloca o respectivo monte sobre os três restantes montes, todos voltados para baixo. Ao terminar de referir a palavra mágica "ACERTEI", retirando uma carta por cada letra dita, estará a mostrar a carta seleccionada pelo seu interlocutor"

* - Fullman, J. (2009). Grande Livro de Truques de Magia. Sintra: Girassol.

Qual a explicação para o truque acabado de descrever?

Conexões entre regularidades numéricas e pavimentações

2010-03-14T17:01:00.001-07:00

Associar números a determinado tipo de figuras geométricas costuma ser habitual em contextos de recreação matemática. O exemplo que trago à reflexão desta vez prende-se com essa ideia e, com isso, viso abordar o tema dos padrões de repetição.

Utilizando os números de 1 a 8, inclusive, colocá-los nos círculos seguintes, todos e apenas uma só vez, de modo que a soma de b + d + f + h seja o dobro da soma de a + c + e + g e que a soma em cada lado da figura exterior seja sempre a mesma:

Este desafio implica que se tenha em conta a soma total que está em jogo ao usarem-se estes oito números. Esta soma é 36, pois 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.

Por outro lado teremos de distribuir estes oito números de modo que b + d + f + h = 2 (a + c + e + g).

Sendo assim, teremos de ver se a soma 36 é divisível por 3, para que ao juntarem-se duas dessas três partes se obtenha um valor que é dobro da outra terça parte. Como a soma dos seus dígítos é um múltiplo de três (3 + 6 = 9), logo o 36 é divisível por 3. Origina um quociente 12.

Tendo em conta esta reflexão teórica resta tentar obter o valor 12 através da adição de quatro desses oito números disponíveis.

Vejamos:

a) 6 + 3 + 2 + 1 = 12

b) 5 + 4 + 2 + 1 = 12

Existem, pois, duas possibilidades de obtenção de soma 12 nas condições enunciadas acima.

De seguida teremos de testar se os outros quatro números restantes permitem obter uma soma que é dobro de 12, isto é, 24. Vejamos para cada um dos casos anteriores:

a) 4 + 5 + 7 + 8 = 24

b) 3 + 6 + 7 + 8 = 24

Em ambos os casos se obtém a soma 24 pretendida. Testemos, então, a sua distribuição nos oitos espaços da figura, tendo também em conta que a soma dos valores em cada lado da figura exterior seja sempre igual. Vejamos os primeiros valores:

Confirma-se que a soma dos valores existentes nos quatro vértices da figura inscrita é o dobro da soma dos valores existentes nos vértices da figura que inscreve aquela e que a soma dos valores de cada lado da figura exterior é sempre a mesma.

Testemos, agora, os segundos valores (5 + 4 + 2 + 1 e 3 + 6 + 7 + 8):

Note-se que para a distribuição dos valores nos vértices da figura exterior existem 3 possibilidades, isto é, o 5 pode ficar anexo do 4 e do 2, ou do 1 e do 4 ou do 2 e do 1:

Testando a distribuição dos outros quatro números, não é possível em qualquer caso obter-se para os quatro valores da figura inscrita uma soma que seja o dobro daqueles quatro valores, de modo a que a soma dos valores da figura exterior seja sempre a mesma. Eis a melhor aproximação possível, onde se evidencia, pois, a impossibilidade desta opção:

A tarefa colocada tem, pois, uma única solução.

Imaginemos a replicação da figura de sucesso de modo a obter-se a figura seguinte:

Que aspectos matemáticos interessantes poderia destacar?

Veja, por exemplo, que as somas dos valores envolvidos nos dois eixos de simetria são números ímpares consecutivos, respectivamente 21 e 23.

Por outro lado, as somas dós valores envolvidos nas linhas oblíquas obedece à seguinte regularidade: 9, 24, 24, 9.

Note-se, ainda que estes quatro valores (9, 24, 24, 9) coincidem com as somas dos valores existentes nos lados dos dois rectângulos que se intersectam.

E no caso de este padrão se repetir, de forma a fazer crescer a pavimentação? Veja-se a figura resultante:

Que regularidades matemáticas podem ser agora evidenciadas?

Veja, por exemplo, que a a soma dos valores existentes em cada linha horizontal obedece à seguinte regularidade: (38, 40, 38, 40, 38). Já a nível vertical, a regularidade é a seguinte: (38, 41, 38, 41, 38).

Por sua vez, em termos de linhas oblíquas, a regularidade numérica verificada é a seguinte: (9, 24, 33, 48, 48, 33, 24, 9).

Faça um estudo, em todo semelhante ao que acabei de fazer, para o caso de os oito números envolvidos passarem a ser os oito primeiros números pares. Será que as regularidades e possibilidades de pavimentação agora obtidas se mantêm? Haverá padrões de crescimento?

Conexões matemáticas envolvendo um baralho de cartas

2010-03-07T16:32:00.001-08:00

O tema das investigações matemáticas tem servido de base ou contexto para a exploração de muitos assuntos neste blog. Desta vez o mesmo vai ser utilizado com recurso a um normal baralho de cartas.

Imagine que pretende efectuar uma moldura para uma fotografia, tendo aquela a particularidade de ser formada por todas as cartas numéricas, de um só naipe, de um normal baralho de cartas, isto é, do 1 (ás) ao 10. A disposição das dez cartas deve obedecer ao esquema seguinte, sendo que cada lado da moldura deve originar sempre a mesma soma. Como proceder?

A título de exemplo, e com base em múltiplas experimentações, poderia ocorrer a seguinte resposta:

Observando a moldura, confirma-se que existe sempre uma mesma soma para cada um dos quatro lados, usando todos, e apenas uma vez, os dez números disponíveis. Refiro-me ao valor 18.

De facto, 2 + 10 + 6 = 18; 6 + 7 + 4 + 1 = 18; 1 + 9 + 8 = 18; 8 + 5 + 3 + 2 = 18.

Em situação de sala de aula seria interessante analisar-se esta moldura e perceber a razão de ela ter sido um caso de sucesso.

Em primeiro lugar, e tendo como referência o esquema seguinte, ter-se-á de concluir que a soma das três cartas de cima (A) é igual à soma das três cartas de baixo (C). Por outro lado, as quatro cartas sobrantes, duas pertencentes ao lado B e as outras duas pertencentes ao lado D têm de originar um valor que adicionado aos valores das seis cartas dos lados A e C dê a soma das dez cartas, que é 55:

Tendo em conta estas premissas, a soma dos valores das quatro cartas afectas a B e D terá de ser tal que ao subtrair ao total 55 dê um resto par, para que este possa originar dois valores iguais, sendo um para o A e outro para o C. Eis os doze casos possíveis:

a) 55 - 11 = 44 --- (22 + 22)

b) 55 - 13 = 42 --- (21 + 21)

c) 55 - 15 = 40 --- (20 + 20)

d) 55 - 17 = 38 --- (19 + 19)

e) 55 - 19 = 36 --- (18 + 18)

f) 55 - 21 = 34 --- (17 + 17)

g) 55 - 23 = 32 --- (16 + 16)

h) 55 - 25 = 30 --- (15 + 15)

i) 55 - 27 = 28 --- (14 + 14)

j) 55 - 29 = 26 --- (13 + 13)

k) 55 - 31 = 24 --- (12 + 12)

l) 55 - 33 = 22 --- (11 + 11)

De facto, a negrito (alínea e) está o caso ilustrado acima. Contudo, para a soma 18 + 18 haverá só aquele caso?

Vamos investigar como é que quatro números diferentes podem originar a soma 19. Uma delas é a que esteve na base do caso de sucesso ilustrado acima: 7 + 5 + 4 + 3 = 19.

Eis outras 12 possibilidades:

a) 10 + 6 + 2 + 1

b) 10 + 5 + 3 + 1

c) 10 + 4 + 3 + 2

d) 9 + 7 + 2 + 1

e) 9 + 6 + 3 + 1

f) 9 + 5 + 4 + 1

g) 9 + 5 + 3 + 2

h) 8 + 7 + 3 + 1

i) 8 + 6 + 4 + 1

j) 8 + 6 + 3 + 2

k) 8 + 5 + 4 + 2

l) 7 + 6 + 5 + 1

m) 7 + 6 + 4 + 2

Resta agora cruzar cada um destes doze casos com a soma de A com C, isto é com 18 + 18, para um total de 36:

a) 10 + 6 + 2 + 1	A = 9 + 5 + 4	C = 8 + 7 + 3
b) 10 + 5 + 3 + 1	A = 9 + 7 + 2	C = 8 + 6 + 4
c) 10 + 4 + 3 + 2	A = 9 + 8 + 1	C = 7 + 6 + 5
d) 9 + 7 + 2 + 1	A = 10 + 5 + 3	C = 8 + 6 + 4
e) 9 + 6 + 3 + 1	X	X
f) 9 + 5 + 4 + 1	A = 10 + 6 + 2	C = 8 + 7 + 3
g) 9 + 5 + 3 + 2	A = 10 + 7 + 1	C = 8 + 6 + 4
h) 8 + 7 + 3 + 1	A = 10 + 6 + 2	C = 9 + 5 + 4
i) 8 + 6 + 4 + 1	A = 9 + 7 + 2	C = 10 + 5 + 3
j) 8 + 6 + 3 + 2	X	X
k) 8 + 5 + 4 + 2	A = 10 + 7 + 1	C = 9 + 6 + 3
l) 7 + 6 + 5 + 1	X	X
m) 7 + 6 + 4 + 2	A = 10 + 5 + 3	C = 9 + 8 + 1

Analisando-se exaustivamente cada caso, apenas o da alínea h resulta numa moldura mágica, com soma 18 em cada lado. Vejamos:

O que resultará se a investigação incidir numa moldura mágica de soma 19? Haverá muitos casos de sucesso?

Apresento duas possíveis soluções:

Solução A:

Solução B:

Haverá mais algum caso de sucesso para esta soma mágica de 19? Como será a sua investigação?

Conectar os números pares a disposições geométricas

2010-03-01T15:33:00.001-08:00

Muitos tipos de números já foram objecto de análise neste blog. Desde os números figurados, como sejam os números triangulares ou os números quadrados, até aos números cúbicos, todos serviram de base a explorações de natureza recreativa.

Para este novo artigo seleccionei o conjunto dos números pares. De entre múltiplas actividades que os podem envolver, escolhi algumas de natureza aditiva.

Num contexto de matemática recreativa como distribuir, na figura seguinte, os sete primeiros números pares, de modo a que a soma de "a + b + c + d" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g":

Esta tarefa poderia ser resolvida pela estratégia de tentativa e erro. Contudo, em contexto de sala de aula seria desejável que os alunos concluíssem que "a" deveria coincidir com a soma de "g + f + e", porque a adição "b + c + d" é comum em ambos os casos.

Sendo assim, e tendo em conta estes sete primeiros números pares, os dois únicos casos em que cada um desses sete números coincide com a soma de outros três são o 12 (2 + 4 + 6) e o 14 (2 + 4 + 8). Logo, eis as duas soluções possíveis:

Vejamos agora um outro desafio, um pouco mais complexo do que o anterior:

Usando os oito primeiros números pares, como os distribuir na figura seguinte, de modo a que "a + b + c + d" seja igual a "e + f + g + h":

Esta tarefa deveria incutir nos resolvedores um sentido de indagação acerca de como os números estão relacionados na disposição geométrica da figura.

Por outro lado, sabe-se que a soma dos oito primeiros números pares é 72, pois 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72.

Como se trata de uma soma par, pode ser decomposta em dois valores iguais (72 = 36 + 36). Logo, a ser possível resolver esta tarefa, cada uma das duas partes da figura deverá estar associada a este valor 36.

Resta agora averiguar se com os valores em causa será possível obter este número duas vezes. Curiosamente o 36 permite decompor-se, também ele, em dois números iguais (18 + 18) e este valor pode ser obtido de quatro maneiras diferentes:

a) 18 = 16 + 2

b) 18 = 14 + 4

c) 18 = 12 + 6

d) 18 = 10 + 8

Tendo em conta estas quatro maneiras de se obter o valor 18, eis que existem três possibilidades de resposta à tarefa colocada:

1 - a) + b) e c) + d)

2 - a) + c) e b) + d)

3 - a) + d) e b) + c)

16 + 2 e 14 + 4 12 + 6 e 10 + 8

16 + 2 e 12 + 6 14 + 4 e 10 + 8

16 + 2 e 10 + 8 14 + 4 e 12 + 6

Imagine, agora, que era solicitado a distribuir os nove primeiros números pares na figura seguinte, de modo a que a soma de "a + b + c + d + f + g + h + i" seja igual à soma de "b + c + d + e + f + g + h". Como fazer?

Eis quatro possíveis soluções:

Há, certamente, outras soluções. Investigue quais são e explicite o raciocínio utilizado.

Conexões matemáticas entre padrões numéricos e pensamento algébrico

2010-02-21T16:12:00.001-08:00

O tema dos padrões e das regularidades tem sido, por diversas vezes, objecto de análise neste blog. O mesmo propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, quer seja em situações de recreação matemática, quer seja em situações de matemática mais formal.

As figuras seguintes visam evidenciar um padrão de crescimento, cuja natureza é geométrica. O desafio é o de se descobrir a figura seguinte que lhe dê continuidade e arranjar um qualquer tipo de fundamento que sirva de justificação para a decisão tomada.

Eis as figuras:

Uma possível abordagem a este desafio poderia passar por se olhar para cada uma das figuras como sendo a composição de outras figuras. Assim, a primeira figura poderia ser vista como sendo 1 quadrado unitário e um rectângulo de um por dois. Já a segunda figura poderia ser entendida como sendo 1 + 2 e um rectângulo de dois por três. Por sua vez, a terceira figura poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 e um rectângulo de três por quatro. Continuando, a figura da direita poderia ser vista como sendo 1 + 2 + 3 + 4 e um rectângulo de quatro por cinco. Sendo assim, a próxima figura poderia ser formada pelos seguintes quadrados unitários: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e por um rectângulo de cinco por seis quadrados:

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos dedicassem algum esforço no sentido de, ao perceberem o padrão de crescimento, descobrissem a sua lei de formação. Isto é, será fácil prever, por exemplo, quantos quadrados unitários existirão na décima figura desta sequência de figuras geométricas? Qual será a sua forma?

Comecemos por analisar o número de quadrados unitários utilizados em cada uma das quatro figuras iniciais:

3 9 18 30

Vejamos a seguinte regularidade:

1º -- 3

2º -- 9 = 3 + 2 x 3

3º -- 18 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3

4º -- 30 = 3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3

Desta regularidade destaca-se a lei geral de que para uma qualquer posição "n", exceptuando a 1ª, a quantidade de quadrados unitários envolvida será obtida pelos seguintes cálculos: 3 + 2 x 3 + ... + n x 3. Logo, no caso da décima figura, o número de quadrados envolvidos será:

3 + 2 x 3 + 3 x 3 + 4 x 3 + 5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 3 + 8 x 3 + 9 x 3 + 10 x 3 = 3 + 54 x 3 = 55 x 3 = 165.

Como em qualquer outra situação que envolva padrões ou regularidades deve estar sempre presente a preocupação de se melhorar ou até mesmo optimizar a estratégia de resolução a utilizar. Neste sentido, e fruto de uma observação, porventura, mais sistematizada e intencional, poder-se-á decompor cada valor numérico num determinado número e no seu dobro. Vejamos:

1º -- 3 = 1 + 2

2º -- 9 = 3 + 6

3º -- 18 = 6 + 12

4º -- 30 = 10 + 20

Por sua vez, se analisarmos os números afectos à 1ª parcela, em cada soma, verificamos que são sempre números triangulares (1, 3, 6, 10).

Logo, a próxima figura, a 5ª, seria formada pela adição do 5º número triangular e o seu dobro. Assim, 15 + 30 = 45, como pudemos verificar acima.

Dando continuidade a esta regularidade, confirma-se que a 10ª figura geométrica seria composta por 165 quadrados unitários, uma vez que o o 10º número triangular é o 55 [proveniente da aplicação da lei geral que gera os números triangulares (n² + n) / 2] e o seu dobro é 110. Logo, 55 + 110 = 165.

Em síntese, poder-se-á concluir que cada figura geométrica inicial é composta por uma figura triangular e uma figura oblonga, estando afectas a cada uma o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo:

1 x 2

2 x 3

3 x 4

4 x 5

Uma vez que a lei geral que gera os números triangulares é a seguinte: (n² + n ) / 2, e a dos números oblongos é o dobro desta, isto é, n² + n, então a lei geral que origina a seguinte sequência numérica (3, 9, 18, 30, ...) resulta da adição das duas anteriores: (n² + n) / 2 + n² + n. Logo, a lei geral é a seguinte: 3 x (n² + n) / 2. Testando-a, por exemplo, para a 10ª figura geométrica, confirma-se que o valor numérico respectivo é o 165, pois: 3 x (10² + 10) / 2 = (3 x 110) / 2 = 330 / 2 = 165.

Eis a figura, composta pela respectiva componente triangular e pela respectiva componente oblonga:

10 x 11

Tendo em conta este raciocínio, qual o número de quadrados unitários envolvidos na 15ª figura geométrica? Qual o respectivo número triangular e o respectivo número oblongo?

Conexões entre figuras mágicas e investigações matemáticas

2010-02-14T17:20:00.001-08:00

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

Valor a repetir

Soma final

Somas parcelares

9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23

7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23

9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23

8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23

9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23

8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23

9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23

8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

Valor a repetir

Soma final

Somas parcelares

9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24

8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24

9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24

8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24

9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24

8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

Valor a repetir

Soma final

Somas parcelares

9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25

7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25

9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25

9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25

8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

Eis os três casos possíveis:

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

Valor a repetir	Soma final
1	46
2	47
3	48
4	49
5	50
6	51
7	52
8	53
9	54

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

Vejamos a tabela respectiva:

Valor a repetir

Soma final

Somas parcelares

9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32

6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

Conexões entre Matemática e Balística – os números tetraédricos

2010-02-07T16:21:00.001-08:00

Para os meus leitores mais interessados em questões de balística, provavelmente já terão sido confrontados com o clássico problema de empilhamento de balas de canhão. Como saberão, este problema costuma ser associado a uma estratégia de resolução designada por "Conjectura de Kepler".

Tudo terá ocorrido por volta do ano de 1600 quando um capitão de um navio pretendeu saber qual a melhor forma de empilhar as balas de canhão. A esta questão, o famoso matemático e astrónomo Johannes Kepler terá sugerido a forma piramidal.

Tirando partido deste acontecimento histórico, quantas serão as esferas existentes em cada um dos seguintes empilhamentos:

Não será difícil perceber-se, pela observação das imagens, que no 1º caso há 10 esferas, no 2º há 20 esferas e no 3º caso há 35 esferas.

Certamente terá observado que a forma como as esferas vão sendo empilhadas da base até ao topo obedece a um padrão ou regularidade numérica:

1º caso: 6 + 3 + 1 = 10

2º caso: 10 + 6 + 3 + 1 = 20

3º caso: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

A regularidade existente reside no facto de as parcelas serem sempre números triangulares consecutivos, cujo menor valor é o número 1.

Tendo em conta esta regularidade, qual a quantidade de esferas que lhe dá continuidade?

Aplicando a lei geral que origina os números triangulares (n² + 2) : 2, basta substituir o "n" pelo valor 6, uma vez que haverá 6 níveis de esferas. Ocorrerão os seguintes cálculos: (6² + 6) : 2 = 42 : 2 = 21.

Logo, o próximo empilhamento terá as seguintes esferas: 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56.

Eis a respectiva figura:

Tendo em conta o nível da base de cada um dos empilhamentos anteriores, também se pode concluir que os respectivos números triangulares estão conectados à adição de números naturais consecutivos. De facto:

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

Seguindo esta regularidade, facilmente se descobre o número de esferas envolvidas na base do próximo empilhamento, pois será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Note-se que 28 é, de facto, o 7º número triangular.

Assim sendo, o próximo empilhamento terá um total de 84 esferas, pois 84 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1.

Destes exemplos conclui-se, pois, que cada nível de cada empilhamento tem um número de esferas que coincide com um elemento da sequência de números triangulares. Logo, cada figura tetraédrica resultante não é mais do que a soma de números triangulares consecutivos, iniciados pelo valor 1.

Sedo assim, os valores 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84... fazem parte dos números tetraédricos, cuja lei de formação está associada à fórmula das combinações: (³C₃, ⁴C₃, ⁵C₃, ⁶C₃, ⁷C3, ⁸C₃, ⁹C₃, ...). Por este motivo será fácil obter-se o 10º termo desta sequência?

Imagine-se que o método de empilhamento das balas de canhão recorria à figura do quadrado para o nível da base em vez de ser a figura do triângulo. Qual o número de balas de canhão existentes da décima figura que dê continuidade a estas cinco iniciais:

Caracterize este novo padrão ou regularidade, isto é, descreva a sua lei de formação e o tipo de números que nela está envolvido.

Conexões matemáticas - Da decomposição dos números aos quadrados mágicos

2010-01-31T16:20:00.001-08:00

A decomposição de números pode servir de motivação para se abordarem múltiplos aspectos da Matemática, como seja a distinção entre número e numeral, bem como a operação adição e a sua inversa - operação subtracção - ou até mesmo algumas propriedades da adição, como seja a comutativa ou a associativa.

Pegando neste tema da decomposição dos números, imagine que é solicitado a descobrir quais os números que são possíveis decompor, tendo em conta as seguintes regras:

a) a decomposição será feita através de adições envolvendo apenas três parcelas;

b) como parcelas da adição pode utilizar apenas os nove primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

c) numa mesma adição não pode haver repetição de números.

Quais os números susceptíveis de serem decompostos e quais as decomposições possíveis para cada um desses números?

Esta situação pode ser resolvida por tentativas ou, então, através de um processo mais sistematizado, isto é, envolvendo um critério específico como o que apresento a seguir:

Soma máxima: 24 e só permite uma decomposição: 9 + 8 + 7

Soma mínima: 6 e só permite uma decomposição: 3 + 2 + 1

As restantes dezassete somas e as respectivas decomposições encontram-se nas tabelas seguintes:

Soma 24

Soma 23

Soma 22

Soma 21

Soma 20

9 + 8 + 7

9 + 8 + 6

9 + 8 + 5

9 + 7 + 6

9 + 8 + 4

9 + 7 + 5

8 + 7 + 6

9 + 8 + 3

9 + 7 + 4

9 + 6 + 5

8 + 7 + 5

Soma 19

Soma 18

Soma 17

Soma 16

9 + 8 + 2

9 + 7 + 3

9 + 6 + 4

8 + 7 + 4

8 + 6 + 5

9 + 8 + 1

9 + 7 + 2

9 + 6 + 3

9 + 5 + 4

8 + 7 + 3

8 + 6 + 4

7 + 6 + 5

9 + 7 + 1

9 + 6 + 2

9 + 5 + 3

8 + 7 + 2

8 + 6 + 3

8 + 5 + 4

7 + 6 + 4

9 + 6 + 1

9 + 5 + 2

9 + 4 + 3

8 + 7 + 1

8 + 6 + 2

8 + 5 + 3

7 + 6 + 3

7 + 5 + 4

Soma 15

Soma 14

Soma 13

Soma 12

9 + 5 + 1

9 + 4 + 2

8 + 6 + 1

8 + 5 + 2

8 + 4 + 3

7 + 6 + 2

7 + 5 + 3

6 + 5 + 4

9 + 4 + 1

9 + 3 + 2

8 + 5 + 1

8 + 4 + 2

7 + 6 + 1

7 + 5 + 2

7 + 4 + 3

6 + 5 + 3

9 + 3 + 1

8 + 4 + 1

8 + 3 + 2

7 + 5 + 1

7 + 4 + 2

6 + 5 + 2

6 + 4 + 3

9 + 2 + 1

8 + 3 + 1

7 + 4 + 1

7 + 3 + 2

6 + 5 + 1

6 + 4 + 2

5 + 4 + 3

Soma 11

Soma 10

Soma 9

Soma 8

Soma 7

8 + 2 + 1

7 + 3 + 1

6 + 4 + 1

6 + 3 + 2

5 + 4 + 2

7 + 2 + 1

6 + 3 + 1

5 + 4 + 1

5 + 3 + 2

6 + 2 + 1

5 + 3 + 1

4 + 3 + 2

5 + 2 + 1

4 + 3 + 1

4 + 2 + 1

Analizando-se as dezanove somas possíveis de ser decompostas de acordo com as regras do enunciado desta tarefa, constata-se a curiosidade de o número de decomposições para cada caso originar uma distribuição de tendência normal, como evidencia o gráfico seguinte:

Trata-se, pois, de um distribuição simétrica, em que a frequência absoluta mais elevada é 8, correpondendo às decomposições dos valores 14, 15 e 16.

Ora, tendo em conta as oito decomposições do número 15:

9 + 5 + 1

9 + 4 + 2

8 + 6 + 1

8 + 5 + 2

8 + 4 + 3

7 + 6 + 2

7 + 5 + 3

6 + 5 + 4

poderse-á analisar o número de vezes que cada um dos valores surge nessas adições. Assim, o valor mais utilizado é o 5, pois aparece em quatro decomposições. De seguida há quatro números que aparecem três vezes. São eles o 2, o 4, o 6 e o 8. Por último, os números 1, 3, 7 e 9 apenas surgem duas vezes.

Com base nesta análise, seria interessante poder colocar estes mesmos números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) nas nove células seguintes, de modo que o quadrado seguinte assumisse o atributo de quadrado mágico de soma 15, isto é, as somas em quaisquer linha, coluna ou diagonal ser sempre 15. Nota: como há nove células para nove números, todos deverão ser usados e apenas uma vez:

Espera-se que a solução encontrada possa confirmar o número de vezes em que cada número é utilizado na decomposição do número 15, segundo as regras impostas por esta tarefa:

Ora, o tema dos quadrados mágicos é dos temas mais fascinantes ao nível da recreação matemática, por permitir múltiplas explorações e conexões a outros temas.

Repare que se a sequência numérica for outra, como por exemplo esta: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, a soma mágica já terá outro valor:

Note-se que quando a sequência numérica se iniciou no 1, a soma mágica foi 15; iniciando-se no 6 passou a ser 30.

Qual será a próxima sequência de nove números, designadamente o seu valor inicial, para que a soma mágica passe a ser 45? Consegue explicar o seu raciocínio?

Conexões matemáticas envolvendo o factorial do número

2010-01-24T16:11:00.001-08:00

Em Matemática existem alguns tipos de números que, quando colocados em sequência, crescem de uma forma muito rápida, pois o seu padrão de crescimento aponta nesse sentido. Veja-se, por exemplo, a sequência dos números cúbicos: 1, 8, 27, 64, 125, ... ou a sequência das potências de base dois: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Contudo, outras há cujo padrão de crescimento é mais lento, como seja o caso dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... ou dos números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

O conjunto de números que apresento a seguir também evidencia crescer muito rapidamente, pois a lei geral que os gera leva a que isso aconteça: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... Qual o próximo termo da sequência?

Talvez influenciados pelo título deste artigo, facilmente poderemos verificar que:

1 = 1

2 = 2 x 1

6 = 3 x 2 x 1

24 = 4 x 3 x 2 x 1

120 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

720 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5040 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Continuando este padrão de crescimento, o próximo termo resultará do seguinte produto 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, isto é, será o número 40320.

Sendo assim, facilmente se percebe que estamos perante uma sequência numérica muito especial, que é a que resulta dos factoriais dos números naturais (n!). De facto, 1 = 1!, 2 = 2!, 6 = 3!, 24 = 4!, 120 = 5!, 720 = 6!, 5040 = 7! e, logicamente, 40320 = 8!

Tendo em conta esta regularidade, qual o factorial do número 10?

Esta questão é facilmente resolvida pelos seguintes cálculos: 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800.

Este tipo de números revela ser muito importante em vários temas matemáticos, como seja o caso das permutações, das combinações ou dos arranjos.

Imaginemos que quatro atletas de salto em altura estão a disputar a final de uma prova muito importante. Sabendo-se que os seus nomes são Artur, Bento, Carlos e Daniel, como pode ser pensada a recepção das medalhas dos três elementos pertencentes ao pódio, isto é, 1º, 2º e 3º lugares? No fundo, pergunta-se como poderá ser formado o pódio?

Note-se que um destes quatro atletas não terá acesso ao pódio, pelo que poderemos tentar prever quantas são as combinações possíveis de três dos quatro atletas poderem ser os premiados.

Sendo assim, há quatro combinações. Uma delas deixará o Artur de fora do pódio, outra deixará o Bento, uma terceira possibilidade é a que deixa o Carlos excluído e a quarta combinação envolve apenas os atletas Artur, Bento e Carlos, ficando, pois, o Daniel de fora do pódio. Vejamos as quatro combinações possíveis:

a - Bento, Carlos e Daniel,

b - Artur, Carlos e Daniel,

c - Artur, Bento e Daniel,

d - Artur, Bento e Carlos.

Estas 4 combinações de três atletas resultam da aplicação do respectivo algoritmo aos quatro atletas:

⁴C₃ = 4! / (4 - 3)! x 3! = 4 x 3 x 2 x 1 / 1 x 3 x 2 x 1 = 24 / 6 = 4.

Realmente, o tema das combinações está associado ao factorial do número. Contudo somente a sua associação ao tema das permutações nos permite encontrar a resposta para o desafio colocado.

De facto, note que para o caso em que é o Artur a ficar excluído do pódio há seis possibilidades de o mesmo ser formado:

1º Bento

2º Carlos

3º Daniel

1º Bento

2º Daniel

3º Carlos

1º Carlos

2º Daniel

3º Bento

1º Carlos

2º Bento

3º Daniel

1º Daniel

2º Bento

3º Carlos

1º Daniel

2º Carlos

3º Bento

Note-se, pois, que este valor 6 resulta de se permutarem de posição estes 3 atletas. Logo, trata-se de mais um caso de aplicação do factorial do número, pois 6 = 3!

Se isto é verdade para o caso de ter sido o Artur (A) a ficar excluído do pódio, também o é para o caso de ter sido o Bento (B), ou o Carlos (C) ou o Daniel (D).

Logo, a tabela seguinte evidencia as 24 possibilidades de constituição do pódio, pois 4 x 3! = 4 x 6 = 24:

B - C - D	B - D - C	C - D - B	C - B - D	D - B - C	D - C - B
A - C - D	A - D - C	C - D - A	C - A - D	D - A - C	D - C - A
A - B - D	A - D - B	B - D - A	B - A - D	D - A - B	D - B - A
A - B - C	A - C - B	B - C - A	B - A - C	C - A - B	C - B – A

Em síntese, a resposta para o desafio colocado é esta das 24 possibilidades, que mais não são do que 24 arranjos de quatro atletas, três a três. Logo, conclui-se que os arranjos de quatro atletas, três a três, é o produto das combinações desses quatro atletas, três a três, pelo factorial de três:

⁴A₃ = ⁴C₃ x 3! = 4 x 6 = 24

Vejamos um novo caso envolvendo o factorial de um número:

Tendo em conta os seguintes números: 10, 20, 30, 0, 50, 60, 70, 80, 90, como se poderá obter a soma 100, usando apenas três parcelas não repetidas?

Esta tarefa permite que se encontrem os seguintes quatro casos:

a) 70 + 20 + 10

b) 60 + 30 + 10

c) 50 + 40 + 10

d) 50 + 30 + 20

Tendo em conta estas quatro decomposições do número 100, será possível converter a figura seguinte num triângulo mágico de soma 100, isto é, poder-se-ão preencher os círculos com os valores envolvidos nestas adições para que a soma em cada lado do triângulo seja sempre 100?:

Este desafio leva a que tentemos testar as quatro somas, três de cada vez, pelo que o tema das combinações volta a estar presente. Uma vez mais, combinando as 4 somas, três a três, obtém-se o valor 4:

⁴C₃ = 4! / (4-3)! x 3! = 4 x 3! / 3! = 4

Eis as quatro combinações:

1 - a) - b) - c)

2 - a) - b) - d)

3 - a) - c) - d)

4 - b) - c) - d)

Testemos caso a caso:

1º caso com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10 b) 60 + 30 + 10 c) 50 + 40 + 10

Como facilmente se pode constatar, este é um caso de impossibilidade, porque existe uma parcela comum a todas as adições, que é o valor 10. Logo, o mesmo nunca poderia pertencer à figura devido ao facto de, no máximo, um valor apenas poder pertencer a duas adições.

Testemos o 2º caso, com as seguintes adições:

a) 70 + 20 + 10 b) 60 + 30 + 10 d) 50 + 30 + 20

Note-se que entre a) e b) há apenas um valor comum, que é o 10. Por sua vez, entre a) e d) também só existe um valor comum, que é o 20. Por último, entre b) e d) existe outro valor comum, que é o 30. Logo, serão estes os valores a fazerem parte dos vértices do triângulo, por pertencerem, em simultâneo a duas adições. Os restantes são colocados nos espaços sobrantes, pelo que se consegue obter uma figura mágica de soma 100:

Testemos, agora, o 3º caso, que contempla as seguintes somas:

a) 70 + 20 + 10 c) 50 + 40 + 10 d) 50 + 30 + 20

Entre a) e c) existe o valor 10 como sendo o único comum; entre a) e d) existe o valor 20 e entre c) e d) existe o valor 50. Usando-os nos vértices e os restantes nos espaços sobrantes, voltamos a obter um novo caso de sucesso:

Resta testar o 4º caso, formado pelas seguintes adições:

b) 60 + 30 + 10 c) 50 + 40 + 10 d) 50 + 30 + 20

Ora, entre b) e c) existe o valor 10 comum; já entre b) e d) é o valor 30 e entre c) e d) é o valor 50. Testando estes valores, obtém-se um terceiro caso de sucesso, diferente dos dois anteriores:

Existem, pois, três respostas possíveis para a tarefa enunciada. Uma vez mais, o recuso o factorial do número teve aplicação na resolução da mesma.

Se cinco pessoas costumarem viajar todos os dias no mesmo carro, ao fim de quantos dias estará a repetir-se a forma como as mesmas vão sentadas nos cinco lugares desse carro? (nota: todos podem conduzir o carro, mas só mudam de posição ao iniciar um novo dia).

Conexões entre Matemática e Futebol

2010-01-17T16:20:00.001-08:00

O tema das investigações matemáticas tem vindo a ser desenvolvido com alguma frequência no seio deste blog. Desta vez vou associá-lo à área do futebol, pois trata-se de uma área que abrange muitos entusiastas.

Ora, sabendo-se que investigar em matemática deveria ser semelhante a investigar em qualquer outra área, mais ou menos científica, vamos vestir a pele de detectives matemáticos e estudar em profundidade o desenrolar de um marcador de um jogo de futebol cujo resultado final tenha sido 3 a 3.

Imagine que a sua equipa empatou com o grande rival a 3 bolas. Tendo começado a ouvir o relato que iniciou com um golo madrugador do seu clube e tendo ouvido, depois, apenas o resultado final (3-3), questionou-se a si próprio como poderia ter sido o desenrolar do marcador. Nessas seis vezes em que o marcador sofreu alteração, quantas delas tiveram o seu clube à frente? Será que esteve sempre à frente e se deixou empatar ao fim? Será que tendo começado a ganhar, logo passou a perder, tendo empatado somente ao fim? São estas, pois, as questões que orientarão a nossa investigação.

Comecemos por colocar o nosso clube o máximo de vezes à frente do marcador, isto é, 5 vezes. Quantos serão os casos possíveis? A tabela seguinte ajuda a esclarecer:

Caso A		Caso B
Nossa Equipa	Equipa Rival	Nossa Equipa	Equipa Rival
1	0	1	0
2	0	2	0
3	0	2	1
3	1	3	1
3	2	3	2
3	3	3	3

Vejamos agora os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador em 4 vezes

Caso C		Caso D
Nossa Equipa	Equipa Rival	Nossa Equipa	Equipa Rival
1	0	1	0
2	0	1	1
2	1	2	1
2	2	3	1
3	2	3	2
3	3	3	3

Já o número de casos em que a nossa equipa poderia ter estava à frente do marcador em 3 vezes, curiosamente também é dois. Vejamos a tabela:

Caso E		Caso F
Nossa Equipa	Equipa Rival	Nossa Equipa	Equipa Rival
1	0	1	0
2	0	1	1
2	1	2	1
2	2	2	2
2	3	3	2
3	3	3	3

Curiosamente, voltam a ser dois os casos em que a nossa equipa poderia ter estado à frente do marcador por 2 vezes:

Caso G		Caso H
Nossa Equipa	Equipa Rival	Nossa Equipa	Equipa Rival
1	0	1	0
1	1	1	1
2	1	1	2
2	2	2	2
2	3	3	2
3	3	3	3

Finalmente, a possibilidade de a nossa equipa ter estado na frente do marcador por uma única vez também poderia ter ocorrido em dois casos:

Caso I		Caso J
Nossa Equipa	Equipa Rival	Nossa Equipa	Equipa Rival
1	0	1	0
1	1	1	1
1	2	1	2
1	3	2	2
2	3	2	3
3	3	3	3

São, pois, estes os 10 casos que poderiam ter ocorrido perante este resultado final e tendo sido a nossa equipa a inaugurar o marcador. Haverá outros?

Seria interessante reflectir, agora, acerca de qual dos dez possíveis cenários seria o que daria mais emoção ao jogo. Claro que os momentos do jogo em que os golos foram marcados também contribuiria, decisivamente, para a componente da emoção, mas talvez os casos G ou I fossem os cenários mais emocionantes!

Imagine-se que a investigação era orientada noutro sentido, isto é, ver os casos em que a nossa equipa esteve menos vezes na frente do marcador, apesar de ter sido ela a inaugurá-lo. Qual seria o estudo a fazer-se?

Conexões matemáticas provenientes de uma observação apaixonada

2010-01-10T16:12:00.001-08:00

Muitas actividades de recreação matemática requerem para a sua resolução de um sentido apurado de observação, isto é, exigem uma observação atenta, criterial ou, se quisermos, uma observação apaixonada pelas questões matemáticas que as sustentam.

O exemplo que trago para ilustrar a importância de uma observação intencional e reveladora de sentido de indagação baseia-se no seguinte conjunto de números:

Dedicando-se alguns minutos a observar a tabela numérica anterior, facilmente podemos descobrir relações matemáticas entre os seus elementos ou até recordar alguns conceitos matemáticos.

Sendo assim, um exemplo a destacar pode ser o conjunto de alguns múltiplos do 3. Exceptuando o valor zero, a tabela abaixo evidencia um padrão de natureza geométrica envolvendo alguns dos primeiros múltiplos do 3:

Repare-se que todos os valores seleccionados têm a particularidade da soma dos seus dígitos ser sempre um múltiplo do 3. Com isto poder-se-ia, em contexto de sala de aula, abordar o critério de divisibilidade por 3: "um número é divisível por 3 se a soma dos seus dígitos for múltipla de 3".

Repara-se, também, que o tema do mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números também poderia ser explorado com esta figura:

A título de exemplo, de entre os múltiplos do 3 e os múltiplos do 5 existentes na tabela, com excepção do zero, como é óbvio, o mínimo múltiplo comum entre eles é o 15. Já entre o 3 e o 6 é o 6; por sua vez, entre o 5 e o 6 é o 30. Este valor 30 volta a ser o mínimo múltiplo comum entre o 3, o 5 e 6, como se pode observar na figura.

Este último exemplo poderia servir de base para se abordar o tema da factorização de números compostos em factores primos. Se o 3 e o 5 já são números primos, o 6 não o é; aliás é um número perfeito, pois a soma dos seus divisores próprios coincide com ele mesmo (1 + 2 + 3 = 6). Logo, o 6 pode ser decomposto num produto de factores primos, sendo um exemplo que prova o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que "qualquer número inteiro maior do que 1 é primo ou resulta num produto de factores primos".

Voltando à tabela inicial, a mesma permite outras explorações matemáticas, como sendo a evidência da propriedade comutativa da operação multipliação:

Veja-se que 3 x 10 = 30 e 10 x 3 = 30. Por sua vez, 5 x 6 = 30 e 6 x 5 = 30. Logo, estes casos podem servir de exemplos para que se conclua que o produto não se altera quando se permutam os respectivos factores.

O tema dos números figurados também pode ser associado a esta tabela. Veja-se o caso dos números quadrados:

Consta-se, pois, que uma das diagonais da figura é formada exclusivamente por números quadrados, logo poder-se-ia explorar essa sequência para se chegar à respectiva lei geral (n²), sendo "n" um número inteiro.

Veja-se a próxima figura e observe-se o que ela sugere:

Cada secção colorida pode ser objecto da seguinte análise:

a) 1

b) 2 x 4 = 8

c) 3 x 9 = 27

d) 4 x 16 = 64

e) 5 x 25 = 125

f) ...

Fixando a nossa atenção nos produtos apresentados nas alíneas anteriores, os mesmos são outro tipo de números figurados, neste caso os números cúbicos (n³):

a) 1 = 1³

b) 8 = 2³

c) 27 = 3³

d) 64 = 4³

e) 125 = 5³

f) ...

Sendo assim quer os números quadrados quer os números cúbicos, quer a relação entre ambos, poderão ser objecto de análise através desta tabela numérica.

Que tipo de números estão assinalados a seguir e qual o critério para se ver rapidamente se outros quaisquer pertencem a essa mesma família ou conjunto numérico?:

Conexões matemáticas envolvendo o pensamento algébrico

2010-01-03T16:05:00.001-08:00

Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.

Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:

a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

b) 1, 8, 27, 64, ...

c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:

Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.

Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:

3 5

7 9 11

13 15 17 19

...

Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?

Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.

Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.

Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3 números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.

Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.

Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n²+ n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (40² + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.

Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.

Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?

Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte:

Nº da fila	Último número da fila
1	1
2	5
3	11
4	19
...	...

Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:

1 = 1 x 2 - 1

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 11

19 = 4 x 5 - 1

Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.

Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.

Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?

4 6 8

10 12 14 16 18

20 22 24 26 28 30 32

...

Regularidades geométricas e numéricas envolvendo a utilização de fósforos

2009-05-12T08:07:00.001-07:00

Como material não estruturado, os fósforos adaptam-se bastante à exploração de múltiplos conceitos matemáticos. Desde a iniciação ao conceito de dezena, com o recurso a um vulgar elástico para a criação de um grupo de dez unidades, até ao estudo de propriedades de várias figuras geométricas, muitas explorações matemáticas podem ser feitas.

De entre alguns autores que têm dedicado alguma atenção a este recurso, destaco Baifang (1995)* e Berloquin (1991)**, por proporem actividades muito interessantes, que apelam ao prazer de se fazer matemática pela via do raciocínio e da ludicidade.

* - Baifang, L. (1995). Puzzles com fósforos. LIsboa: Gradiva.

** - Berloquin, P. (1991). 100 jogos geométricos. Lisboa: Gradiva.

Para reflexão desta semana decidi associar os fósforos ao tema das regularidades geométricas, com o estabelecimento de conexões às respectivas regularidades de natureza numérica.

Como actividade de recreação matemática analise a seguinte sequência geométrica e tente estimar o número de fósforos necessários para se obterem 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às seguintes figuras rectangulares:

Este desafio não representará, certamente, uma grande dificuldade, pois poder-se-á estabelecer facilmente o seguinte raciocínio:

1 quadrado - 4 fósforos

2 quadrados - 7 fósforos

3 quadrados - 10 fósforos

4 quadrados - 13 fósforos, isto é, mais três fósforos do que na construção geométrica anterior. Seguindo este padrão ou regularidade, descobrir-se-á a quantidade de fósforos necessária para a obtenção de 30 quadrados alinhados na horizontal, dando continuidade às figuras rectangulares propostas inicialmente. Esse valor será de 91 fósforos.

Em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos pudessem descobrir a lei geral que suporta esta regularidade numérica de fósforos, associada ao respectivo número de quadrados que formam.

Observe-se, novamente, a quantidade de fósforos envolvida em cada uma das três construções iniciais, e estabeleçamos a respectiva interpretação numérica:

1 quadrado - 4 fósforos (4)

2 quadrados - 7 fósforos (4 + 3)

3 quadrados - 10 fósforos (4 + 3 + 3)

...

n quadrados - [4 + (n - 1 x 3)] = 4 + 3n - 3 = 3n +1

Conclui-se, pois, que para a construção de um determinado número de quadrados (n), e nas mesmas condições enunciadas nesta tarefa, o número de fósforos (f) será igual ao triplo desse número de quadrados mais uma unidade.

Logo, confirma-se que para o caso de 30 quadrados, o número de fósforos envolvidos seria 3 x 30 + 1 = 91.

Uma extensão deste desafio poderia passar pela construção de figuras quadradas, como ilustram os exemplos seguintes:

As três figuras quadradas da tabela permitem a seguinte contagem:

1 quadrado - 4 fósforos

4 quadrados - 12 fósforos

9 quadrados - 24 fósforos

Note-se a seguinte regularidade:

1 quadrado - 1 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura);

4 quadrados - 2 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 1 x 2 fósforos (linha vertical do interior) + 1 x 2 fósforos (linha horizontal do interior);

9 quadrados - 3 x 4 fósforos (nº de fósforos relativos à fronteira da figura) + 2 x 3 fósforos (linhas verticais do interior) + 2 x 3 fósforos (linhas horizontais do interior).

Em síntese, temos:

1 quadrado - 1 x 4

4 quadrados - 2 x 4 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados - 3 x 4 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n quadrados (sempre figura quadrada):

Logo, a próxima figura quadrada, formada por 16 quadrados, seria formada por 2 x (4 + 16) = 40 fósforos. Eis a respectiva figura:

Outra análise que pode ser feita para estas figuras quadradas pode passar por nos concentrarmos no número de fósforos empregues no lado de cada uma delas. Assim:

1 quadrado (1ª figura) - 4 x 1

4 quadrados (2ª figura) - 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2

9 quadrados (3ª figura) - 4 x 3 + 2 x 3 + 2 x 3

...

n-ésima figura - 4 x n + (n -1) x n + (n - 1) x n = 4n + 2(n² - n) = 4n + 2n² - 2n = 2n² + 2n = 2n (n + 1).

A título de exemplo, a próxima figura quadrada, com quatro fósforos de lado, necessitará de 2 x 4 (4 + 1) = 40 fósforos.

Tendo em conta a seguinte nova sequência de figuras triangulares, descubra a lei geral de formação e teste-a para o caso de querer saber o número de fósforos necessários para se construir uma nova figura semelhante a elas, contendo 36 triângulos:

Múltiplas conexões matemáticas envolvendo o número 120

2009-05-03T16:52:00.001-07:00

Se nos lembrarmos do nosso tempo de escola, recordaremos que se falava em vários tipos de números. Havia os pares, os ímpares, os que eram primos, os primos entre si, os compostos, os perfeitos, os quadrados, os triangulares, os naturais, os inteiros, os relativos, os racionais, os reais, os irracionais, etc., etc. Destes, havia alguns que se distinguiam pela sua importância histórica, como seja o 1, o zero, o pi, ou o de ouro.

Não obstante isto, tem vindo a descobrir-se coisas fantásticas acerca de outros bem mais "modestos", em termos da sua importância relativa como entes da História da Matemática, como seja o 9, o 1089, o 3037 ou o 142857. Basta uma consulta rápida na Internet para nos apercebermos das suas magníficas propriedades matemáticas.

Contudo, não é acerca destes números que eu vou incidir a minha reflexão. Decidi escolher um que, porventura, tem merecido menos elogios, mas que me agrada imenso, por permitir um leque variado de conexões a alguns conceitos matemáticos. Refiro-me ao 120.

Pois é, se eu o desafiasse a reflectir acerca da importância deste valor nas nossas vidas, facilmente o associaríamos a aspectos do tempo (sistema sexagesimal), ou ao limite de velocidade nas auto-estradas. Quantos de nós não pagaram já coimas de 120 euros por excesso de velocidade?

Já relativamente a outros conceitos matemáticos podemos associá-lo, por exemplo, ao conceito de amplitude de ângulos, designadamente aos ângulos externos de um qualquer triângulo equilátero.

Mas vejamos as seguintes propriedades mágicas deste número.

(a) Tem o privilégio de ser formado pelos três primeiros números inteiros (0, 1 e 2).

(b) Como qualquer outro número inteiro, pode ser obtido pela adição de alguns números da sequência de Finonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...). Eis alguns exemplos:

2 + 8 + 21 + 89 = 120

2 + 3 + 5 + 21 + 34 + 55 = 120

2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 89 = 120

(c) Como se trata de um número que não é primo, pois é composto, pode ser obtido através da multiplicação de vários factores primos: 120 = 2³ x 3 x 5.

(d) Também pode ser obtido através da adição de oito dos dez primeiros números primos: 120 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29. Aliás, tendo em conta a conjectura de Goldbach, que diz que qualquer número par maior ou igual a quatro pode ser obtido pela adição de dois números primos, o 120 resultaria da adição de 103 com 17, ou de 113 com 7 ou de 117 com 3.

(e) É um número triangular, o que significa que existem dois números inteiros consecutivos que multiplicados entre si originam um produto que é o dobro desse valor 120. Refiro-me aos números 15 e 16, pois 15 x 16 = 240. De facto, o 120 é o 15º número triangular, pois 120 = [n x [n + 1)] : 2, quando n = 15.

(f) Ao adicionarmos os seus dígitos constatamos que a soma é 3, logo o 120 é divisível por 3. Este facto permite que nos questionemos acerca de quais serão os nove números inteiros consecutivos que permitem transformar a figura seguinte num quadrado mágico, de ordem três, com soma mágica 120?

Eis uma possível solução, envolvendo os seguintes números consecutivos 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44:

(g) Será que também pode ser afecto a um quadrado mágico de ordem quatro, isto é, será que existem dezasseis números inteiros consecutivos que permitem tornar a figura seguinte num quadrado mágico de soma 120?

Através dos três exemplos seguintes podemos perceber que existe uma regularidade neste tipo de figuras:

Quando a sequência se inicia pelo valor 1, a soma é 34; quando se inicia pelo valor 2, a soma é 38; quando se inicia pelo valor 3, a soma é 42. Prolongando este padrão, resulta o seguinte:

Início	Soma	Início	Soma	Início	Soma	Início	Soma
1	34	2	38	3	42	4	46
5	50	6	54	7	58	8	62
9	66	10	70	11	74	12	78
13	82	14	86	15	90	16	94
17	98	18	102	19	106	20	110
21	114	22	118	23	122

O padrão anterior permite concluir que não é possível obter-se um quadrado mágico, de ordem 4, envolvendo dezasseis números inteiros consecutivos cuja soma seja 120. O máximo que se obtém por defeito é 118 e o mínimo que se obtém por excesso é 122.

Ora se formalizarmos este padrão, percebemos que:

1 --- 34 = 34 + 0 x 4

2 --- 38 = 34 + 1 x 4

3 --- 42 = 34 + 2 x 4

4 --- 46 = 34 + 3 x 4

5 --- 50 = 34 + 4 x 4

...

n = 34 + (n - 1) x 4

Se igualarmos este lei de formação ao valor 120, concluímos que "n" terá que ser 22,5, que será o início da seguinte sequência numérica: 22,5; 23,5; 24,5; 25,5; 26,5; 27,5; 28,5; 29,5; 30,5; 31,5; 32,5; 33,5; 34,5; 35,5; 36,5; 37,5.

Façamos o quadro:

Confirma-se, pois, que se pode construir um quadrado mágico, de ordem 4, cuja soma mágica 120 resulta da utilização dos dezasseis números decimais acima enunciados.

(h) A terminar, seria interessante investigar se o 120 resulta ou não da adição de quatro potências de base dois consecutivas.

A tabela seguinte evidencia esse possível estudo:

Note-se, pois, que as potências envolvidas são 2³, 2⁴, 2⁵ e 2⁶.

Através de uma exploração algébrica, a resolução da equação seguinte: x² + 2x² + 4x² + 8x² = 120 dar-nos-ia a resposta "8" como sendo a primeira das potências a considerar.

Faça um estudo semelhante para o caso de quatro potências consecutivas de base 3 e verá que ficará surpreendido!

Conexões matemáticas envolvendo polígonos regulares e as suas diagonais

2009-04-27T06:30:00.001-07:00

A Geometria e a Medida são duas áreas afins da Matemática, de onde podem surgir múltiplas actividades relativas ao tema das conexões matemáticas.

Imagine que era desafiado a identificar o número de segmentos de recta que unem dois vértices não consecutivos em cada uma das seguintes figuras geométricas

Facilmente se apercebia que no caso do triângulo não existe nenhum segmento de recta deste tipo, no caso do quadrado existem 2, no caso do pentágono existem 5, no caso do hexágono existem 9 e no caso do heptágono existem 14:

Sem desenhar a respectiva figura seria interessante que se conseguisse descobrir o número de segmentos de recta deste tipo para o caso de se tratar de um polígono regular de doze lados, isto é, um dodecágono.

Seria desejável que os resolvedores tentassem olhar para o número de segmentos de recta deste tipo em cada figura, no sentido de perceberem se existe ou não algum tipo de regularidade.

Ora, constata-se que o número se segmentos de recta para cada caso é, respectivamente, o seguinte: 0, 2, 5, 9, 14. Se se reparar, de 0 para 2 há um incremento de duas unidades; de 2 para 5 o incremento é de três unidades; de 5 para 9 é de quatro e de 9 para 14 é de cinco. Seguindo-se este critério, facilmente se conclui que para o caso do dodecágono existem 54 segmentos de recta deste tipo.

Se esta situação for transportada para o contexto de sala de aula, seria interessante que os alunos pudessem pensar numa lei geral que relacionasse o número deste tipo de segmentos de recta - diagonais dos polígonos - com o número de lados de cada polígono.

A tabela seguinte sistematiza os dados:

Polígono	Nº de Lados (l)	Nº de Diagonais (d)
Triângulo	3	0
Quadrado	4	2
Pentágono	5	5
Hexágono	6	9
Heptágono	7	14
Octógono	8	20
Eneágono	9	27
Decágono	10	35
Undecágono	11	44
Dodecágono	12	54

Analisando-se ambas as colunas que contêm valores numéricos, deduz-se a lei geral de obtenção do número de diagonais de um polígono regular a partir do número de lados desse polígono: d = l x (l - 3) : 2, sendo "d" o número de diagonais de um polígono regular e "l" o número de lados desse polígono.

Neste caso qualquer pergunta que vise a obtenção do número de diagonais de um determinado polígono regular, facilmente será resolvida pela aplicação directa da fórmula anterior.

Sendo assim, qual o número de diagonais do icoságono, isto é, do polígono regular formado por 20 lados?

Tal como temos vindo a fazer em artigos anteriores, este tema também pode suscitar algumas extensões e conexões a outros assuntos matemáticos, como seja o dos números triangulares.

Repare na soma do número de lados de cada polígono, supra analisado, e o respectivo número de diagonais:

Polígono	Nº de Lados (l)	Nº de Diagonais (d)	l + d
Triângulo	3	0	3
Quadrado	4	2	6
Pentágono	5	5	10
Hexágono	6	9	15
Heptágono	7	14	21
Octógono	8	20	28
Eneágono	9	27	36
Decágono	10	35	45
Undecágono	11	44	55
Dodecágono	12	54	66

Os números 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., por permitirem a obtenção de figuras triangulares, designam-se de números triangulares:

3	6	10

A fórmula que gera este tipo de números pode ser deduzida a partir da lei geral que gera o número de diagonais de um polígono regular em função do seu número de lados e é a seguinte t_n = n x (n + 1) : 2, sendo "t" um número triangular e "n" a ordem desse número triangular na respectiva sequência de números triangulares. Como primeiro número triangular há que se considerar o 1, pois t₁= 1 x 2 : 2 = 1.

Esta conexão matemática permite que se desafiem os alunos com várias tarefas interessantes, às quais dedicarei um próximo artigo.

Para já desafio-os a responder à seguinte tarefa: Qual o polígono regular cuja soma do número de lados com o número das suas diagonais origina o 15º número triangular?

Conexões numéricas

2009-04-22T09:14:00.001-07:00

A Matemática é fértil em situações que possibilitam o estabelecimento de várias conexões, seja entre vários dos seus conteúdos, seja com conteúdos de outras ciências ou até mesmo com a realidade do nosso dia a dia. O exemplo que seleccionei para este artigo, com carácter de recreação matemática, fica-se pela própria Matemática.

Imagine-se desafiado a tentar perceber a relação que existe nas seguintes "frases matemáticas", dando continuidade à regularidade, eventualmente, encontrada:

5 x 1 + 0²

5 x 2 + 1²

5 x 3 + 2²

Provavelmente não terá dúvidas em afirmar que para cada caso estamos na presença de números primos, pois, 5, 11 e 19 são números apenas divisíveis pela unidade e por eles próprios:

5 x 1 + 0² = 5

5 x 2 + 1² = 11

5 x 3 + 2² = 19

Aliás, ao prolongar-se esta regularidade, confirma-se a obtenção de novos números primos, pois:

5 x 4 + 3² = 29

5 x 5 + 4² = 41

Contudo, nem sempre o nosso pensamento intuitivo nos leva por caminhos matematicamente válidos, pois basta encontrarmos um contra-exemplo para que caia por terra a nossa melhor conjectura! De facto, basta seguir o padrão anterior e acrescentar-lhe um novo valor para se perceber que o resultado já não faz parte do conjunto dos números primos:

5 x 6 + 5² = 55

Quem sabe se o seu sentido de observação não o terá levado, antes, a ver os números destacados em negrito como sendo o resultado do produto de dois números consecutivos, subtraído de uma unidade:

5 = 2 x 3 - 1

11 = 3 x 4 - 1

19 = 4 x 5 - 1

29 = 5 x 6 - 1

41 = 6 x 7 - 1

55 = 7 x 8 - 1

Na perspectiva do conhecimento matemático trata-se de uma boa conclusão, pois, de facto, essa sequência numérica pode resultar da diferença entre o produto de dois números consecutivos e a unidade. Sendo assim, seria fácil propor o próximo número, que seria o resultado de 8 x 9 - 1, isto é, o 71, que, por acaso, volta a ser um número primo.

Contudo, o estabelecimento de relações pode passar, também, por se perceber o sentido do incremento desta sequência numérica. Ora, centrando a nossa atenção nessa sequência:

5 11 19 29 41 55 71 ...

Verificamos que do 1º para o 2º termo há um incremento de 6 unidades. Depois, do 2º para o 3º termo há um incremento de 8 unidades, seguindo-se um incremento de 10 unidades, e assim sucessivamente.

A lista seguinte ajuda a perceber a passagem do 1º termo para qualquer dos seguintes, evidenciando um nova regularidade:

Termo	Incremento
1° - 5
2° – 11	5 + 6
3° – 19	5 + 6 x 2 + 2 x 1
4° – 29	5 + 6 x 3 + 2 x 3
5° – 41	5 + 6 x 4 + 2 x 6
6° – 55	5 + 6 x 5 + 2 x 10

Confirma-se que o próximo termo, 71, resultará de 5 + 6 x 6 + 2 x 15. Analisando-se a coluna respeitante ao incremento a partir do 1º termo da sequência, destaca-se o facto de um dos factores da última múltiplicação em cada linha ser um número triangular (1, 3, 6 , 10, 15,...), cuja lei geral que os origina é a seguinte: (n² + n) : 2.

Logo, daqui resulta fácil a construção da lei geral que origina a sequência dos números em análise, que será: 5 + 6 (n -1) + [(n -2)² + (n - 2)] : 2.

Vimos, pois, que esta sequência de números, como tantas outras que poderíamos analisar, permite o estabelecimento de conexões muito interessantes entre vários conceitos matemáticos, como sejam os números primos, os números sucessivos ou, ainda, as potências de expoente dois ou os números quadrados e o conceito de raiz quadrada. Analise-se a relação entre a sequência dada e estas novas frases matemáticas:

5	1 x 2 x 3 x 4 + 1
11	2 x 3 x 4 x 5 + 1
19	3 x 4 x 5 x 6 + 1

Que ilações consegue retirar a partir dos valores da lista anterior? Dê continuidade a ambas as colunas!

O mundo mágico das conexões matemáticas

2008-12-28T15:39:00.000-08:00

Perdoem-me os leitores a falta de modéstia por dedicar este artigo ao meu mais recente livro, acabado de publicar a 17 de Dezembro de 2008 pelas Edições do Instituto Politécnico de Castelo Branco, cujo nome é: O Mundo Mágico das Conexões Matemáticas, com o ISBN: 978-989-8196-06-4.

Apesar de não se tratar de um livro que explicitamente aborde o tema da Matemática Recreativa, contém algumas propostas de tarefas de aplicação da Matemática ao quotidiano, com a respectiva justificação matemática de isso poder ocorrer.
O índice do livro permite ter-se uma ideia dos temas abordados:
1 - Introdução
2 - Conexões matemáticas a partir do Binómio de Newton
3 - Conexão algébrica e geométrica relacionando outros casos notáveis da multiplicação
4 - Conexão entre a diferença de quadrados e o teorema de Pitágoras
5 - Ternos pitagóricos - várias perspectivas conectadas
6 - O triângulo de Pascal e sua conexão com o cálculo combinatório, com os números de Fibonacci e com outros temas matemáticos
7 - Conexão entre o triângulo de Pascal, os números triangulares e os números tetraédricos
8 - Conexão entre os números triangulares e outros números figurados
9 - Outras conexões matemáticas envolvendo os números triangulares
10 - Composição e decomposição de números através da utilização de triângulos mágicos
11 - Composição e decomposição de números através da utilização de quadrados mágicos
12 - As potências e sua conexão a vários temas matemáticos
13 - Conexões finais
14 - Bibliografia
Eis alguns exemplos de tarefas propostas nesse livro:

A: - Imagine-se um terreno quadrado com 30 metros de lado, o qual vai ser dividido em quatro partes. Uma primeira parte será um amplo espaço para uma garagem, cujo chão será um rectângulo com 10 metros de largura e 20 metros de comprimento. Mesmo encostada a esta garagem está uma piscina quadrada com 100 metros quadrados de área. Além disso, mesmo ao lado da piscina fica uma zona ajardinada, de forma rectangular, com exactamente a mesma área que o chão da garagem. O resto do terreno fica para a edificação da casa, cujo chão será um quadrado. Qual é a área deste chão?

B: - Sabendo que exitesm cinco pessoas a pretender jogar matraquilhos, quantas são as combinações possíveis para estarem quatro pessoas a jogar de cada vez?

C: - Quantos apertos de mão são dados por 40 amigos que já não se viam há algum tempo e que se juntaram num congresso?

Note que o 1º caso está associado ao Binómio de Newton, o 2º caso ao triângulo de Pascal e às combinações e o 3º caso à sequência de números triangulares.

Qual a resolução de cada um?

Porquê as conexões matemáticas?

2008-11-02T10:30:00.000-08:00

O tema das conexões matemáticas tem vindo a ser reconhecido pela comunidade dos educadores matemáticos como sendo muito fértil em termos das possibilidades que dá aos estudantes de conceptualizarem a Matemática não como sendo um conjunto de temas desgarrados e avulsos, mas sim como sendo um todo harmonioso onde os conceitos evidenciam relações entre si, com outras ciências ou até mesmo com múltiplos aspectos do quotidiano.

Tendo em conta esta perspectiva, pretendo proporcionar um espaço de partilha e de reflexão acerca do tema - Conexões matemáticas - lançando para o debate da blogosfera alguns artigos susceptíveis de serem comentados com vista a serem enriquecidos para que as tarefas propostas possam ser experimentadas ao nível da sala de aula de matemática.